Để giải phép tính $4 \frac{7}{9} \times 5 \frac{1}{4} \times \frac{5}{42}$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Chuyển đổi hỗn số thành phân số

1. $4 \frac{7}{9}$:
$4 \frac{7}{9} = \frac{4 \times 9 + 7}{9} = \frac{36 + 7}{9} = \frac{43}{9}$

2. $5 \frac{1}{4}$:
$5 \frac{1}{4} = \frac{5 \times 4 + 1}{4} = \frac{20 + 1}{4} = \frac{21}{4}$

### Bước 2: Nhân các phân số

$\frac{43}{9} \times \frac{21}{4} \times \frac{5}{42}$

### Bước 3: Rút gọn trước khi nhân

Trước khi thực hiện phép nhân, ta có thể rút gọn các phân số:

- Rút gọn $\frac{21}{42}$:
$\frac{21}{42} = \frac{21 \div 21}{42 \div 21} = \frac{1}{2}$

Vì vậy, phép tính trở thành:
$\frac{43}{9} \times \frac{21}{4} \times \frac{5}{42} = \frac{43}{9} \times \frac{1}{2} \times \frac{5}{4}$

### Bước 4: Nhân các phân số đã rút gọn

$\frac{43}{9} \times \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{43 \times 1 \times 5}{9 \times 2 \times 4} = \frac{215}{72}$

### Bước 5: Kết quả

Kết quả của phép tính $4 \frac{7}{9} \times 5 \frac{1}{4} \times \frac{5}{42}$ là $\frac{215}{72}$.

Nếu cần đổi ra hỗn số:
$\frac{215}{72} = 2 \frac{71}{72}$

Vậy, kết quả cuối cùng là $2 \frac{71}{72}$.