Để giải phép tính \(4 \frac{7}{9} \times 5 \frac{1}{4} \times \frac{5}{42}\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Chuyển đổi hỗn số thành phân số

1. \(4 \frac{7}{9}\):
\[
4 \frac{7}{9} = \frac{4 \times 9 + 7}{9} = \frac{36 + 7}{9} = \frac{43}{9}
\]

2. \(5 \frac{1}{4}\):
\[
5 \frac{1}{4} = \frac{5 \times 4 + 1}{4} = \frac{20 + 1}{4} = \frac{21}{4}
\]

### Bước 2: Nhân các phân số

\[
\frac{43}{9} \times \frac{21}{4} \times \frac{5}{42}
\]

### Bước 3: Rút gọn trước khi nhân

Trước khi thực hiện phép nhân, ta có thể rút gọn các phân số:

- Rút gọn \(\frac{21}{42}\):
\[
\frac{21}{42} = \frac{21 \div 21}{42 \div 21} = \frac{1}{2}
\]

Vì vậy, phép tính trở thành:
\[
\frac{43}{9} \times \frac{21}{4} \times \frac{5}{42} = \frac{43}{9} \times \frac{1}{2} \times \frac{5}{4}
\]

### Bước 4: Nhân các phân số đã rút gọn

\[
\frac{43}{9} \times \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{43 \times 1 \times 5}{9 \times 2 \times 4} = \frac{215}{72}
\]

### Bước 5: Kết quả

Kết quả của phép tính \(4 \frac{7}{9} \times 5 \frac{1}{4} \times \frac{5}{42}\) là \(\frac{215}{72}\).

Nếu cần đổi ra hỗn số:
\[
\frac{215}{72} = 2 \frac{71}{72}
\]

Vậy, kết quả cuối cùng là \(2 \frac{71}{72}\).