Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính số tiền còn lại sau khi Nam mua 1 hộp bút.
2. Tính số tiền còn lại sau khi Nam mua 3 quyển vở.
3. Tính giá tiền của 1 quyển vở.
4. Tính giá tiền của 1 cái bút bi.

Ta có:
- Mẹ cho Nam 60.000 đồng.
- Nam mua 1 hộp bút hết 15.000 đồng.

Số tiền còn lại sau khi mua 1 hộp bút:
\[ 60.000 - 15.000 = 45.000 \]

Nam mua 3 quyển vở hết 22.800 đồng.

Số tiền còn lại sau khi mua 3 quyển vở:
\[ 45.000 - 22.800 = 22.200 \]

Nam dùng số tiền còn lại để mua 5 cái bút bi. Gọi giá tiền của 1 cái bút bi là \( x \) đồng.

Số tiền mua 5 cái bút bi là:
\[ 5x = 22.200 \]

Ta có phương trình:
\[ 5x = 22.200 \]

Giải phương trình để tìm \( x \):
\[ x = \frac{22.200}{5} = 4.440 \]

Vậy, giá tiền của 1 cái bút bi là 4.440 đồng.

Giá tiền của 1 quyển vở:
\[ \frac{22.800}{3} = 7.600 \]

Vậy:
- Giá tiền của 1 quyển vở là 7.600 đồng.
- Giá tiền của 1 cái bút bi là 4.440 đồng.