Để tìm tất cả các cặp số nguyên tố \((p, q)\) sao cho \(p^q + q^p\) cũng là số nguyên tố, ta cần xem xét các trường hợp khác nhau và sử dụng một số tính chất của số nguyên tố.

### Bước 1: Kiểm tra trường hợp đơn giản với \(p = q\)

Giả sử \(p = q\), ta có \(p^p + p^p = 2p^p\). Với \(p > 2\), \(2p^p\) là một số chẵn lớn hơn 2, nên không thể là số nguyên tố. Do đó, \(p\) phải bằng 2, và ta kiểm tra:

- Với \(p = q = 2\):
\[
2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8
\]
8 không phải là số nguyên tố.

Vì vậy, không có cặp \((p, p)\) nào thỏa mãn điều kiện \(p^q + q^p\) là số nguyên tố.

### Bước 2: Kiểm tra trường hợp \(p \neq q\)

Giả sử \(p\) và \(q\) là hai số nguyên tố khác nhau. Chúng ta sẽ thử một số cặp nhỏ:

- Với \(p = 2\) và \(q\) là số nguyên tố khác:
\[
2^q + q^2
\]
Ta thử các giá trị nhỏ của \(q\):

- \(q = 3\):
\[
2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17
\]
17 là số nguyên tố.
- \(q = 5\):
\[
2^5 + 5^2 = 32 + 25 = 57
\]
57 không phải là số nguyên tố.
- \(q = 7\):
\[
2^7 + 7^2 = 128 + 49 = 177
\]
177 không phải là số nguyên tố.

- Với \(q = 2\) và \(p\) là số nguyên tố khác:
\[
p^2 + 2^p
\]
Ta thử các giá trị nhỏ của \(p\):

- \(p = 3\):
\[
3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17
\]
17 là số nguyên tố.
- \(p = 5\):
\[
5^2 + 2^5 = 25 + 32 = 57
\]
57 không phải là số nguyên tố.
- \(p = 7\):
\[
7^2 + 2^7 = 49 + 128 = 177
\]
177 không phải là số nguyên tố.

Từ các trường hợp thử trên, chúng ta thấy rằng cặp \((2, 3)\) và \((3, 2)\) đều cho kết quả \(17\), là một số nguyên tố. Do đó, các cặp số nguyên tố \((p, q)\) thỏa mãn điều kiện \(p^q + q^p\) là số nguyên tố là \((2, 3)\) và \((3, 2)\).

### Kết luận
Các cặp số nguyên tố \((p, q)\) thỏa mãn điều kiện \(p^q + q^p\) cũng là số nguyên tố là \((2, 3)\) và \((3, 2)\).

Để tìm tất cả các cặp số nguyên tố \((p, q)\) sao cho \(p^q + q^p\) cũng là số nguyên tố, ta sẽ phân tích và thử nghiệm các giá trị khác nhau cho \(p\) và \(q\).

Bắt đầu với các số nguyên tố nhỏ để kiểm tra:

1. \(p = 2\) và \(q = 3\):
\[
p^q + q^p = 2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17 \quad (\text{là số nguyên tố})
\]
Vậy \((2, 3)\) là một cặp số thỏa mãn.

2. \(p = 3\) và \(q = 2\):
\[
p^q + q^p = 3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17 \quad (\text{là số nguyên tố})
\]
Vậy \((3, 2)\) cũng là một cặp số thỏa mãn.

Tiếp tục kiểm tra với các cặp số khác:

3. \(p = 2\) và \(q = 5\):
\[
p^q + q^p = 2^5 + 5^2 = 32 + 25 = 57 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

4. \(p = 5\) và \(q = 2\):
\[
p^q + q^p = 5^2 + 2^5 = 25 + 32 = 57 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

5. \(p = 3\) và \(q = 5\):
\[
p^q + q^p = 3^5 + 5^3 = 243 + 125 = 368 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

6. \(p = 5\) và \(q = 3\):
\[
p^q + q^p = 5^3 + 3^5 = 125 + 243 = 368 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

Tương tự, ta tiếp tục kiểm tra các cặp số nguyên tố khác như \((2, 7)\), \((7, 2)\), \((3, 7)\), \((7, 3)\), ... Các cặp này sẽ không thỏa mãn điều kiện \(p^q + q^p\) là số nguyên tố vì kết quả tính toán đều không ra số nguyên tố.

Do đó, các cặp số nguyên tố \((p, q)\) thỏa mãn \(p^q + q^p\) là số nguyên tố chỉ gồm:
\[
(2, 3) \quad \text{và} \quad (3, 2).
\]