Để giải bài toán này, trước hết ta cần xác định quy luật của dãy số \( \frac{1}{15} + \frac{1}{45} + \frac{1}{63} + \ldots + \frac{1}{195} \).

Hãy thử tìm hiểu một vài phân số đầu tiên:
\[ \frac{1}{15}, \frac{1}{45}, \frac{1}{63}, \ldots \]

Ta có thể phân tích các mẫu số thành thừa số nguyên tố:
\[ 15 = 3 \times 5 \]
\[ 45 = 3^2 \times 5 \]
\[ 63 = 3^2 \times 7 \]
\[ \vdots \]
\[ 195 = 3 \times 5 \times 13 \]

Nhận thấy các mẫu số này không theo quy luật rõ ràng trong việc phân tích thành thừa số nguyên tố, chúng ta cần phải xem xét các số này có thể được mô tả như thế nào để tìm được một công thức tổng quát.

Nhận thấy rằng: \( 15 = 3 \times 5 \), \( 45 = 3^2 \times 5 \), \( 63 = 3^2 \times 7 \), \( 195 = 3 \times 5 \times 13 \).

Hãy thử xác định các số hạng trong dãy này bằng cách viết lại tổng này dưới dạng:
\[ \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \]

Tuy nhiên, sau khi xem xét kỹ hơn, chúng ta nhận thấy rằng không có mẫu số chung hoặc quy luật rõ ràng giữa các số hạng này. Vì vậy, có thể dãy số này không có mẫu chung dễ thấy và chúng ta cần phải cộng trực tiếp các số hạng.

Do đó, tổng của dãy số này sẽ là:
\[ \frac{1}{15} + \frac{1}{45} + \frac{1}{63} + \ldots + \frac{1}{195} \]

Chúng ta sẽ thực hiện phép cộng các phân số này từng bước một.

Trước hết, chúng ta sẽ quy đồng các phân số để có mẫu số chung:

\[
\frac{1}{15} = \frac{1}{3 \times 5}, \quad \frac{1}{45} = \frac{1}{3^2 \times 5}, \quad \frac{1}{63} = \frac{1}{3^2 \times 7}, \quad \frac{1}{195} = \frac{1}{3 \times 5 \times 13}
\]

Để cộng các phân số này, chúng ta cần tìm mẫu số chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số 15, 45, 63 và 195. Tuy nhiên, để đơn giản hóa quá trình, chúng ta có thể tìm LCM qua các thừa số nguyên tố của các số hạng.

Mẫu số chung nhỏ nhất (LCM) của \( 3^2 \times 5 \times 7 \times 13 = 3^2 \times 5 \times 7 \times 13 \).

Sau đó, chúng ta cộng các phân số này. Tuy nhiên, vì dãy số chỉ có một vài số hạng, chúng ta có thể tính từng bước.

Vậy tổng của dãy số này sẽ là:

\[ \frac{1}{15} + \frac{1}{45} + \frac{1}{63} + \ldots + \frac{1}{195} = \frac{1}{15} + \frac{1}{45} + \frac{1}{63} + \ldots + \frac{1}{195} \]

Chúng ta thực hiện phép cộng từng cặp một:

\[ \frac{1}{15} + \frac{1}{45} = \frac{3}{45} + \frac{1}{45} = \frac{4}{45} \]
\[ \frac{4}{45} + \frac{1}{63} = \frac{4 \times 63 + 1 \times 45}{45 \times 63} = \frac{252 + 45}{2835} = \frac{297}{2835} = \frac{11}{105} \]
\[ \frac{11}{105} + \frac{1}{195} = \frac{11 \times 195 + 1 \times 105}{105 \times 195} = \frac{2145 + 105}{20475} = \frac{2250}{20475} = \frac{2}{91} \]

Tổng của dãy số đã cho là \( \frac{2}{91} \).