V
Vũ Huy Hoàng verified Đã trả lời bởi chuyên gia
đã hỏi trong Lớp 6 Toán học
· 11:06 03/06/2024
verified Đã trả lời bởi chuyên gia
Theo dõi Báo cáo

Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27

Trả Lời (+5 điểm)
Hỏi chi tiết
...Xem thêm

Quảng cáo

2 câu trả lời 272

Sang Phạm
1 năm trước

Để chứng minh rằng tích các ước của một số tự nhiên \( n \) bằng \( n^{27} \) khi \( n \) có 54 ước, ta bắt đầu bằng cách phân tích cấu trúc của \( n \) và các ước của nó.

1. **Phân tích cấu trúc của \( n \):**
Giả sử \( n \) có dạng:
\[
n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \ldots p_k^{e_k}
\]
trong đó \( p_1, p_2, \ldots, p_k \) là các số nguyên tố khác nhau và \( e_1, e_2, \ldots, e_k \) là các số nguyên dương.

Số ước của \( n \) được tính bằng:
\[
(e_1 + 1)(e_2 + 1) \ldots (e_k + 1)
\]

Theo đề bài, \( n \) có 54 ước, do đó ta có:
\[
(e_1 + 1)(e_2 + 1) \ldots (e_k + 1) = 54
\]

2. **Phân tích các trường hợp khả dĩ cho các ước:**
Ta phân tích số 54:
\[
54 = 2 \times 3^3 = 6 \times 9 = 9 \times 6 = 18 \times 3
\]

Một số phân tích có thể như:
- \( (e_1 + 1)(e_2 + 1) = 54 \): \( e_1 = 53 \)
- \( (e_1 + 1)(e_2 + 1) = 9 \times 6 \): \( e_1 = 8, e_2 = 5 \)
- \( (e_1 + 1)(e_2 + 1)(e_3 + 1) = 6 \times 3 \times 3 \): \( e_1 = 5, e_2 = 2, e_3 = 2 \)
- ...

3. **Chứng minh tích các ước bằng \( n^{27} \):**
Tổng quát, giả sử \( n \) có \( k \) ước là \( d_1, d_2, \ldots, d_{54} \). Theo tính chất của các ước:
\[
d_1 \times d_2 \times \ldots \times d_{54} = n^{t/2}
\]
trong đó \( t \) là số ước của \( n \). Vì \( t = 54 \), ta có:
\[
d_1 \times d_2 \times \ldots \times d_{54} = n^{54/2} = n^{27}
\]

Để hiểu rõ, ta chú ý rằng mỗi ước \( d_i \) sẽ có một ước \( d_j \) sao cho \( d_i \cdot d_j = n \). Do đó, tích của tất cả các ước sẽ là:
\[
(d_1 \cdot d_{54}) \times (d_2 \cdot d_{53}) \times \ldots \times (d_{27} \cdot d_{28}) = n \times n \times \ldots \times n = n^{27}
\]
Bởi vì có tổng cộng 27 cặp nhân \( d_i \cdot d_j = n \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng tích của các ước của \( n \) bằng \( n^{27} \) khi \( n \) có 54 ước.

...Xem thêm
0 bình luận
Đăng nhập để hỏi chi tiết
$\boxed{\text{VuNguyen}}\checkmark\bigstar$
1 năm trước

`p_1^{\frac{\alpha_1(\alpha_1+1)}{2}} * p_2^{\frac{\alpha_2(\alpha_2+1)}{2}} * ... * p_n^{\frac{\alpha_n(\alpha_n+1)}{2}} = (p_1^{\alpha_1} * p_2^{\alpha_2} * ... * p_n^{\alpha_n})^{\frac{(\alpha_1+1)}{2} * \frac{(\alpha_2+1)}{2} * ... * \frac{(\alpha_n+1)}{2}} = n^{\frac{(\alpha_1+1)}{2} * \frac{(\alpha_2+1)}{2} * ... * \frac{(\alpha_n+1)}{2}}`

Chứng minh bài toán:

Vì $n$ có 54 ước, nên tích của $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_n+1)$ bằng $54 * 2 = 108$.

Ta cần chứng minh $\frac{(\alpha_1+1)}{2} × \frac{(\alpha_2+1)}{2} × ... × \frac{(\alpha_n+1)}{2} = 27$.

Nhận thấy $108 = 2^2 * 3^3$. Để tích $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_n+1)$ bằng 108, mỗi thừa số $(\alpha_i+1)$ phải là ước của 108.

Do đó, các giá trị khả dĩ của $(\alpha_i+1)$ là 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108.

Dễ dàng nhận thấy để tích bằng 108 và tích các số $\frac{(\alpha_i+1)}{2}$ bằng 27, ta có thể chọn $(\alpha_1+1) = 4$ và $(\alpha_2+1) = 27$, hoặc $(\alpha_1+1) = 27$ và $(\alpha_2+1) = 4$, và $\alpha_i = 0$ với mọi $i > 2$.

Vậy, ta có:

$\frac{(\alpha_1+1)}{2} × \frac{(\alpha_2+1)}{2} × ... × \frac{(\alpha_n+1)}{2} = 2 × 13.5 = 27$

Kết luận: Tích các ước của $n$ bằng $n^{27}$.

...Xem thêm
0 bình luận
Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?

Câu hỏi hot cùng chủ đề
Thành viên hăng hái nhất trong tuần
Xem thêm button Rút gọn button
Bài viết mới nhất Lớp 6
Xem thêm »
Gửi báo cáo thành công!