Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN ( M, N là hai tiếp điểm), cát tuyến ABC nằm giữa AO và AN. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn (O) tại các điểm P và Q ( P nằm giữa A và O ), BC cắt MN tại K. Tia NI cắt (O) ở J a) Chứng minh : ANOM, ANIO, nội tiếp b) Chứng minh MJ // AC c) Chứng minh : AI.AK = AB.AC d) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME
Quảng cáo
1 câu trả lời 878
a) Chứng minh : $ANOM$, $ANIO$ nội tiếp
Tứ giác $ANOM$ nội tiếp:
$\hat{AMO} = 90^\circ$ ($AM$ là tiếp tuyến của $(O)$)
$\hat{ANO} = 90^\circ$ ($AN$ là tiếp tuyến của $(O)$)
=> $\hat{AMO} + \hat{ANO} = 180^\circ$
=> Tứ giác $ANOM$ nội tiếp (tổng hai góc đối bằng $180^\circ$)
Tứ giác $ANIO$ nội tiếp:
$\hat{AIO} = 90^\circ$ ($AI$ là đường trung trực của $BC$, $I$ là trung điểm $BC$)
$\hat{ANO} = 90^\circ$ ($AN$ là tiếp tuyến của $(O)$)
=> $\hat{AIO} + \hat{ANO} = 180^\circ$
=> Tứ giác $ANIO$ nội tiếp (tổng hai góc đối bằng $180^\circ$)
b) Chứng minh $MJ \parallel AC$
Ta có:
$\hat{JMN} = \hat{JIN}$ ( cùng chắn cung $JN$ của đường tròn $(ANIO)$ )
$\hat{JIN} = \hat{IAC}$ ( đồng vị, $NI \parallel AC$ do cùng vuông góc với $BC$ )
=> $\hat{JMN} = \hat{IAC}$
=> $MJ \parallel AC$ (có hai góc đồng vị bằng nhau)
c) Chứng minh : $AI.AK = AB.AC$
Xét $\Delta ABK$ và $\Delta ACI$, ta có:
$\hat{BAK}$ chung
$\hat{ABK} = \hat{ACI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AK$)
=> $\Delta ABK \sim \Delta ACI$ (g.g)
=> $\frac{AB}{AI} = \frac{AK}{AC}$
=> $AI.AK = AB.AC$
d) Gọi $D$ là trung điểm $HQ$, từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $MD$ cắt đường thẳng $MP$ tại $E$. Chứng minh $P$ là trung điểm $ME$
Gọi $F$ là giao điểm của $HE$ và $AO$.
Ta có:
$HD \parallel ME$ (cùng vuông góc với $MD$)
$D$ là trung điểm $HQ$ (giả thiết)
=> $F$ là trung điểm của $QE$ (tính chất đường trung bình)
Xét tam giác $MQE$, ta có:
$F$ là trung điểm $QE$ (cmt)
$HF \parallel ME$ (cùng vuông góc với $MD$)
=> $H$ là trung điểm $MQ$ (tính chất đường trung bình)
Xét tam giác $MPQ$, ta có:
$H$ là trung điểm $MQ$ (cmt)
$O$ là trung điểm $PQ$ (do $PQ$ là đường kính)
=> $HO$ là đường trung bình của tam giác $MPQ$
=> $HO \parallel MP$
Ta có:
$HO \parallel MP$ (cmt)
$HE \perp MD$
=> $MP \perp MD$
=> $\hat{MPD} = 90^\circ$
Xét tam giác $MPE$, ta có:
$\hat{MPD} = 90^\circ$ (cmt)
$F$ là trung điểm $ME$ (cmt)
=> $PF = MF = \frac{ME}{2}$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
=> $P$ là trung điểm của $ME$.
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
13370
-
10062
-
6647
-
5957
-
zytera
1325 điểm
-
Dương Nguyễn
960 điểm
-
보고 싶어요
855 điểm
-
돈이없다 💸😭
815 điểm
-
우옌 ✨
790 điểm
-
`d.`
635 điểm
-
`color{blue}text{HuyTùng.`
555 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
540 điểm
-
주디 홉스닉주디🥵👍
520 điểm
-
‧₊˚✩ ₊˚🎧⊹♡≽☁˚˖ִ໋🌷͙֒✧˚.🎀༘⋆⋅♡👾đẹρ-†®åî⋆⭒💫
435 điểm
-
Ngọc Linh hay nói linh tinh
385 điểm
-
Kiều Anh 350 điểm
-
누가 고철을 팔고 싶어할까요🗑️🗑️
345 điểm
-
Bích Hồng 345 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 9
-
3 năm trước5749
-
3 năm trước5123
-
3 năm trước4652
-
3 năm trước4628
