Để chứng minh rằng \( A \) chia hết cho \( 6 \) với \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của phép chia hết:

1. \( 2 \) chia hết cho \( 2 \), tức là \( 2 \equiv 0 \mod 2 \).
2. Một số chia hết cho \( 6 \) khi và chỉ khi nó chia hết cho \( 2 \) và \( 3 \).

Đầu tiên, ta chứng minh rằng \( A \) chia hết cho \( 2 \). Bởi vì mỗi số trong dãy \( 2^1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{100} \) đều chia hết cho \( 2 \), tổng của chúng \( A \) cũng chia hết cho \( 2 \).

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho \( 3 \). Để làm điều này, ta nhận thấy rằng:
\[ A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} = 2(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{99}) \]
Đây là một dãy hình học với công bội là \( 2 \). Dãy này có \( 100 \) số. Áp dụng công thức tổng của dãy hình học:
\[ S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} \]
Trong đó:
- \( S_n \) là tổng của \( n \) số đầu tiên,
- \( a_1 \) là số đầu tiên,
- \( r \) là công bội,
- \( n \) là số lượng số.

Ở đây, \( a_1 = 1 \), \( r = 2 \), và \( n = 99 \). Thay vào công thức:
\[ S_{99} = \frac{1(2^{99} - 1)}{2 - 1} = 2^{99} - 1 \]
\[ A = 2(2^{99} - 1) = 2^{100} - 2 \]
Điều này cho thấy \( A \) có dạng \( 2^x - 2 \) với \( x = 100 \), và \( 2^x \) luôn chia hết cho \( 4 \). Do đó, \( A \) chia hết cho \( 4 \), từ đó chia hết cho \( 2 \).

Vì \( A \) chia hết cho cả \( 2 \) và \( 3 \), nên \( A \) cũng chia hết cho \( 6 \).

Để chứng minh \( A \) chia hết cho 6 với:

\[ A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{100} \]

Đầu tiên, ta có thể sử dụng công thức tổng của dãy số hình học:

\[ S_n = \frac{a_1 \times (1 - r^n)}{1 - r} \]

Trong đó:
- \( S_n \) là tổng của \( n \) số hạng đầu tiên,
- \( a_1 \) là số hạng đầu tiên,
- \( r \) là tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp.

Ứng dụng công thức này vào dãy số \( A \), ta có:

\[ A = 2 \times \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2} = 2 \times (2^{100} - 1) \]

\[ A = 2^{101} - 2 \]

Ta cần kiểm tra xem \( A \) có chia hết cho 6 hay không. Để làm điều này, ta có thể sử dụng định lý Fermat nhỏ (nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) không chia hết cho \( p \), thì \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \)). Ở đây, \( p = 3 \) và \( a = 2 \), do đó \( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \).

Bây giờ ta kiểm tra \( A \) theo modulo 3:

\[ A = (2^{101} - 2) \mod 3 \]

\[ = (2^{101} \mod 3 - 2 \mod 3) \]

\[ = (2 \times 2^{100} \mod 3 - 2) \]

Vì \( 2^{100} \equiv 1 \mod 3 \), nên \( 2 \times 2^{100} \equiv 2 \mod 3 \). Do đó:

\[ A = (2 \mod 3 - 2) \]

\[ A = 0 \]

Vậy, ta kết luận rằng \( A \) chia hết cho 6.