Để tính tổng \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots + \frac{1}{90} \), chúng ta có thể sử dụng cách tiếp cận của chuỗi hình thang.

Đầu tiên, chúng ta nhận thấy mẫu số của mỗi phân số là một số hình thang liên tiếp: 2, 3, 4, 5,..., 9. Ta sẽ chia mỗi phân số cho mẫu số tương ứng để đưa chúng về dạng 1/1, sau đó tính tổng của các phân số này.

\( \frac{1}{2} = \frac{1}{1} \times \frac{1}{2} \) \
\( \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \) \
\( \frac{1}{12} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \) \
\( \frac{1}{20} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} \) \
\( \vdots \) \
\( \frac{1}{90} = \frac{1}{9} \times \frac{1}{10} \)

Khi đó, ta có:

\( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots + \frac{1}{90} \) \
\( = \left(1 \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{9} \times \frac{1}{10}\right) \) \
\( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \) \
\( = 1 - \frac{1}{10} \) \
\( = \frac{9}{10} \)

Vậy tổng của chuỗi là \( \frac{9}{10} \).