Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Chuẩn hóa các phân số** để chúng có cùng mẫu số.
2. **Tính toán phép trừ** giữa các phân số đã chuẩn hóa.
3. **Rút gọn kết quả** nếu cần.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước:

1. **Chuẩn hóa các phân số**:
- \( \frac{8}{9} \) và \( \frac{3}{4} \) có mẫu số khác nhau, ta nhân mẫu số của mỗi phân số với mẫu số của phân số kia.
- \( \frac{8}{9} \) và \( \frac{3}{4} \) có thể chuyển về cùng mẫu số bằng cách nhân mỗi phân số với mẫu số của phân số kia.
- Nhân \( \frac{8}{9} \) với 4 và \( \frac{3}{4} \) với 9:
\( \frac{8}{9} \times 4 = \frac{32}{9} \)
\( \frac{3}{4} \times 9 = \frac{27}{4} \)
- Ta có: \( \frac{32}{9} : \frac{27}{4} - \frac{9}{6} \)

2. **Tính toán phép trừ**:
- \( \frac{32}{9} : \frac{27}{4} - \frac{9}{6} = \frac{32}{9} - \frac{27}{4} - \frac{9}{6} \)

3. **Rút gọn kết quả**:
- \( \frac{32}{9} - \frac{27}{4} - \frac{9}{6} = \frac{32}{9} - \frac{81}{9} - \frac{9}{6} \)
- \( = \frac{32}{9} - \frac{81}{9} - \frac{3}{2} \)
- \( = \frac{32 - 81}{9} - \frac{27}{2} \)
- \( = \frac{-49}{9} - \frac{27}{2} \)
- \( = -\frac{49}{9} - \frac{27}{2} \)

Vậy kết quả của biểu thức là \( -\frac{49}{9} - \frac{27}{2} \).