Quảng cáo
2 câu trả lời 58
Chúng ta sẽ sử dụng công thức khai triển Newton để giải bài toán này:
\[
(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k
\]
Ở đây, \( y \) là \( 1 + \frac{1}{x} \), \( n \) là \( 4 \). Khi đó:
\[
(x^2 + 1 + \frac{1}{x})^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (x^2)^{4-k} (1 + \frac{1}{x})^k
\]
Bây giờ, ta chỉ cần tính giá trị của từng thành phần trong tổng:
Khi \( k = 0 \):
\[
\binom{4}{0} (x^2)^4 (1 + \frac{1}{x})^0 = x^8
\]
Khi \( k = 1 \):
\[
\binom{4}{1} (x^2)^3 (1 + \frac{1}{x})^1 = 4x^6(1 + \frac{1}{x})
\]
Khi \( k = 2 \):
\[
\binom{4}{2} (x^2)^2 (1 + \frac{1}{x})^2 = 6x^4(1 + \frac{1}{x})^2
\]
Khi \( k = 3 \):
\[
\binom{4}{3} (x^2)^1 (1 + \frac{1}{x})^3 = 4x^2(1 + \frac{1}{x})^3
\]
Khi \( k = 4 \):
\[
\binom{4}{4} (1 + \frac{1}{x})^4 = (1 + \frac{1}{x})^4
\]
Vậy khai triển của \((x^2 + 1 + \frac{1}{x})^4\) là:
\[
x^8 + 4x^6(1 + \frac{1}{x}) + 6x^4(1 + \frac{1}{x})^2 + 4x^2(1 + \frac{1}{x})^3 + (1 + \frac{1}{x})^4
\]
Ứng dụng công thức này vào đa thức được cho, ta có:,\((x^2 + 1 + \frac{1}{x})^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (x^2)^{4-k}1^k(\frac{1}{x})^k\)
= \(\binom{4}{0} (x^2)^4 1^0 (\frac{1}{x})^0 + \binom{4}{1} (x^2)^3 1^1 (\frac{1}{x})^1 + \binom{4}{2} (x^2)^2 1^2 (\frac{1}{x})^2 + \binom{4}{3} (x^2)^1 1^3 (\frac{1}{x})^3 + \binom{4}{4} (x^2)^0 1^4 (\frac{1}{x})^4\)
= \(\binom{4}{0} x^8 + \binom{4}{1} x^5 + \binom{4}{2} x^2 + \binom{4}{3} \frac{1}{x} + \binom{4}{4} \frac{1}{x^4}\)
= \(1 x^8 + 4 x^5 + 6 x^2 + 4 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x^4}\)
= \(x^8 + 4x^5 + 6x^2 + 4x^{-1} + x^{-4}\)
Vậy khai triển của đa thức \((x^2 + 1 + \frac{1}{x})^4\) là \(x^8 + 4x^5 + 6x^2 + 4x^{-1} + x^{-4}\).
Quảng cáo