cho hàm số y = với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S
Quảng cáo
1 câu trả lời 42
Để hàm số \( y = \frac{mx - 2m - 3}{x - m} \) đồng biến trên các khoảng xác định, ta cần xác định điều kiện để đạo hàm của nó luôn dương hoặc luôn âm trên các khoảng đó.
Để hàm số đồng biến, ta cần kiểm tra điều kiện đạo hàm của nó luôn dương hoặc luôn âm trên từng khoảng xác định.
Đạo hàm của hàm số \( y \) theo \( x \) là:
\[ y' = \frac{(x - m)(m) - (mx - 2m - 3)}{(x - m)^2} \]
Để hàm số đồng biến, ta cần giải phương trình:
\[ y' > 0 \quad \text{hoặc} \quad y' < 0 \]
Giải phương trình này ta có:
\[ \frac{(x - m)(m) - (mx - 2m - 3)}{(x - m)^2} > 0 \]
\[ \frac{mx - m^2 - mx + 2m + 3}{(x - m)^2} > 0 \]
\[ \frac{-m^2 + 2m + 3}{(x - m)^2} > 0 \]
Vì mẫu số luôn là số dương, ta chỉ cần quan tâm đến tử số:
\[ -m^2 + 2m + 3 > 0 \]
Để giải phương trình bậc hai này, ta cần tìm điều kiện để nó có nghiệm. Sử dụng định thức \(\Delta\) của phương trình bậc hai:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
\[ = (2)^2 - 4(-1)(3) \]
\[ = 4 + 12 \]
\[ = 16 \]
Định thức \(\Delta\) là dương, vì vậy phương trình có nghiệm.
Hơn nữa, với phương trình bậc hai \( -m^2 + 2m + 3 = 0 \), để có nghiệm thì \( \Delta \) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Vậy ta có:
\[ \Delta \geq 0 \]
\[ 16 \geq 0 \]
Điều kiện này luôn được thỏa mãn.
Do đó, ta cần tìm điều kiện để phương trình \( -m^2 + 2m + 3 > 0 \) có nghiệm.
Để giải phương trình bậc hai này, ta sử dụng phương pháp về các đường thẳng, parabol, hay số học. Tuy nhiên, ta không thể giải trực tiếp nếu không muốn sử dụng phương pháp về số học, nhưng có thể giải quyết bằng cách sử dụng biểu đồ.
Tóm lại, việc tìm số lượng giá trị nguyên của \( m \) để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định cần phải được xác định thông qua các phương pháp khác nhau, bao gồm sử dụng đồ thị và kiểm tra điểm cắt với trục hoành. Điều này có thể dẫn đến một số giá trị nguyên của \( m \) tương ứng.
Quảng cáo