Để tính biểu thức $5 \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ bằng cách thuận tiện, ta có thể thực hiện các phép tính theo thứ tự như sau:

1. Chuyển 5 phần 4 thành phân số: $5 \frac{1}{4} = \frac{5 \times 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$
2. Thực hiện các phép nhân và chia trong phân số:
- $\frac{21}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{21 \times 1}{4 \times 3} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$
- $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 1}{3 \times 4} = \frac{1}{12}$
3. Thực hiện phép trừ:
- $\frac{7}{4} - \frac{1}{12}$
4. Rút gọn phân số nếu cần và tính toán kết quả.

Tuy nhiên, để thực hiện tính toán một cách thuận tiện hơn, ta có thể sử dụng kỹ thuật tìm chung mẫu số bằng cách nhân và chia nhân tử của từng phân số.

Ta có:
$5 \frac{1}{4} = \frac{5 \times 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$
$1 \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Bây giờ, ta tính toán biểu thức mới:
$5 \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{21 \times 1}{4 \times 3} - \frac{4 \times 1}{3 \times 4}$
$= \frac{21}{12} - \frac{4}{12} = \frac{21 - 4}{12} = \frac{17}{12}$

Vậy kết quả là $\frac{17}{12}$ hoặc $1 \frac{5}{12}$.