Đặt ba phân số cần tìm là \( \frac{a}{b} \), \( \frac{c}{d} \), và \( \frac{e}{f} \).

Given:

1. Tổng của ba phân số là \( \frac{3}{4} \), nghĩa là:
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{3}{4} \] (1)

2. Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai là \( \frac{13}{24} \), nghĩa là:
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{13}{24} \] (2)

3. Tổng của phân số thứ hai và phân số thứ ba là \( \frac{7}{12} \), nghĩa là:
\[ \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{7}{12} \] (3)

Bây giờ, chúng ta có một hệ ba phương trình với ba ẩn số, ta có thể giải hệ phương trình này để tìm giá trị của \( a \), \( b \), \( c \), \( d \), \( e \), \( f \).

Trước tiên, hãy giải phương trình (2) và (3) để tìm \( \frac{c}{d} \):

\[ \frac{c}{d} = \frac{13}{24} - \frac{a}{b} \] (4)
\[ \frac{c}{d} = \frac{7}{12} - \frac{e}{f} \] (5)

Giờ ta có thể gán (4) và (5) bằng nhau:

\[ \frac{13}{24} - \frac{a}{b} = \frac{7}{12} - \frac{e}{f} \]

Giải và tìm \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{e}{f} \):

\[ \frac{a}{b} = \frac{13}{24} - \frac{7}{12} + \frac{e}{f} \]

\[ \frac{a}{b} = \frac{13}{24} - \frac{14}{24} + \frac{e}{f} \]

\[ \frac{a}{b} = -\frac{1}{24} + \frac{e}{f} \] (6)

Bây giờ, ta sẽ sử dụng (6) vào (1):

\[ \frac{-1}{24} + \frac{e}{f} + \frac{c}{d} = \frac{3}{4} \]

Đặt \( \frac{c}{d} = \frac{13}{24} - \frac{a}{b} \) vào, ta được:

\[ \frac{-1}{24} + \frac{e}{f} + \left(\frac{13}{24} - \frac{a}{b}\right) = \frac{3}{4} \]

Simplify:

\[ \frac{-1}{24} + \frac{e}{f} + \frac{13}{24} - \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \]

\[ \frac{e}{f} - \frac{a}{b} = \frac{3}{4} + \frac{1}{24} - \frac{13}{24} \]

\[ \frac{e}{f} - \frac{a}{b} = \frac{1}{3} \] (7)

Giờ, ta có (6) và (7), ta có thể giải hệ phương trình này để tìm \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{e}{f} \). Trước tiên, cộng (6) và (7):

\[ \frac{a}{b} + \frac{e}{f} = -\frac{1}{24} + \frac{e}{f} + \frac{e}{f} - \frac{a}{b} = \frac{1}{3} - \frac{1}{24} \]

\[ 2\left(\frac{a}{b} + \frac{e}{f}\right) = \frac{8}{24} + \frac{1}{3} \]

\[ \frac{a}{b} + \frac{e}{f} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \]

\[ \frac{a}{b} + \frac{e}{f} = \frac{2}{3} \]

\[ \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{24} + \frac{e}{f} - \frac{a}{b} \]

\[ \frac{2}{3} = \frac{8}{24} - \frac{1}{24} + \frac{e}{f} - \frac{a}{b} \]

\[ \frac{2}{3} = \frac{7}{24} + \frac{e}{f} - \frac{a}{b} \]

\[ \frac{2}{3} - \frac{7}{24} = \frac{e}{f} - \frac{a}{b} \]

\[ \frac{16}{24} - \frac{7}{24} = \frac{e}{f} - \frac{a}{b} \]

\[ \frac{9}{24} = \frac{e}{f} - \frac{a}{b} \]

\[ \frac{3}{8} = \frac{e}{f} - \frac{a}{b} \]

\[ \frac{3}{8} + \frac{a}{b} = \frac{e}{f} \] (8)

Giờ chúng ta có thể sử dụng (8) vào (6) để tìm \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{e}{f} \):

\[ \frac{a}{b} = -\frac{1}{24} + \frac{3}{8} + \frac{a}{b} \]

\[ \frac{a}{b} = \frac{3}{8} - \frac{1}{24} \]

\[ \frac{a}{b} = \frac{9}{24} - \frac{1}{24} \]

\[ \frac{a}{b} = \frac{8}{24} \]

\[ \frac{a}{b} = \frac{1}{3} \]

\[ \frac{3}{8} + \frac{1}{3} = \frac{e