Để xét tính đơn điệu của hàm số y = √(2x - x³), chúng ta cần tìm các giá trị đạo hàm của hàm số này và xem chúng thay đổi như thế nào khi x thay đổi. Sau đó, vẽ bảng biến thiên của đạo hàm để xác định tính đơn điệu của hàm số gốc.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y = √(2x - x³):
y' = d/dx [√(2x - x³)]

Sử dụng quy tắc chuỗi chúng ta có:
y' = (1/2√(2x - x³)) * (d/dx [2x - x³])

Bây giờ, tính đạo hàm của 2x - x³:
d/dx [2x - x³] = 2 - 3x²

Vậy:
y' = (1/2√(2x - x³)) * (2 - 3x²)

Bước 2: Tìm điểm tắt đạo hàm bằng cách giải phương trình:
2 - 3x² = 0

3x² = 2

x² = 2/3

x = ±√(2/3)

Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của đạo hàm:

| x | -∞ | -√(2/3) | √(2/3) | +∞ |
|-------------|-------|---------|--------|------|
| y' | + | 0 | - | + |

Dựa vào bảng biến thiên của đạo hàm, chúng ta có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số gốc y = √(2x - x³):

- Hàm số tăng (positive) trên (-∞, -√(2/3)) và (√(2/3), +∞).
- Hàm số giảm (negative) trên (-√(2/3), √(2/3)).
- Hàm số có điểm tắt đạo hàm tại x = -√(2/3).

Vậy, hàm số y = √(2x - x³) là đơn điệu tăng trên khoảng (-∞, -√(2/3)), giảm trên khoảng (-√(2/3), √(2/3)), và đơn điệu tăng trên khoảng (√(2/3), +∞).

Để xét tính đơn điệu của hàm số y = √ 2 x − x 3, ta có thể làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số. Ta có:
y = √ 2 x − x 3

⇒ 2 x − x 3 ≥ 0

⇒ x (2 − x 2) ≥ 0

⇒ x (x − √ 2) (x + √ 2) ≥ 0

⇒ x ∈ [−√ 2; 0] ∪ [√ 2; +∞)

Vậy D = [−√ 2; 0] ∪ [√ 2; +∞)

Bước 2: Tính đạo hàm y’ của hàm số. Ta có:
y’ = (2 − 3 x 2) / (2 √ 2 x − x 3)

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình y’ = 0 hoặc những giá trị x làm cho y’ không xác định. Ta có:
y’ = (2 − 3 x 2) / (2 √ 2 x − x 3) = 0

⇔ 2 − 3 x 2 = 0

⇔ x = ±√(2/3)

y’ không xác định khi mẫu số bằng không, tức là:

2 √ 2 x − x 3 = 0

⇔ x = ±√(4/3)

Bước 4: Xác định dấu của y’ tại các khoảng giá trị vừa tìm được. Ta có thể dùng bảng biến thiên hoặc phép thử để kiểm tra dấu của y’. Kết quả như sau:
 
(−∞; −√(4/3))    −√(4/3)   (−√(4/3); −√(2/3))   −√(2/3)   (−√(2/3); −√ 2)   −√ 2    (−√ 2; √(4/3))     √(4/3)   (√(4/3);    ∞)
y’
+
không xác định
−
không xác định
+
không xác định
+
không xác định
+
Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Ta có:
Hàm số y đồng biến trên các khoảng (−∞; −√(4/3)), (−√(2/3); −√ 2), (−√ 2; √(4/3)), (√(4/3); +∞).

Hàm số y nghịch biến trên khoảng (−√(4/3); −√(2/3)).