Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tìm phương trình mặt phẳng và bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), ta cần giải quyết hệ phương trình gồm phương trình mặt cầu và phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ.

Phương trình mặt cầu: \(x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 10\)
Phương trình đường thẳng Δ: \(x/2 = -y\) và \(x/2 = (z - 1)/2\)

Gọi \(A\) là giao điểm của Δ và (S), chúng ta có:
\(A\) có tọa độ \(\left(-2, 1, -1\right)\).

Để tìm phương trình của mặt phẳng \(P\), ta sử dụng vector pháp tuyến của \(P\) bằng tích vector pháp tuyến của (S) và Δ. Vector pháp tuyến của (S) là \((1, 1, -2)\), còn của Δ là \((1, -1, 1)\).

Ta tính tích vector của hai vector này để có vector pháp tuyến của mặt phẳng \(P\):
\[
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & -2 \\
1 & -1 & 1
\end{vmatrix}
= \left(3, -3, -2\right).
\]

Phương trình mặt phẳng \(P\) có thể được viết dưới dạng:
\(3x - 3y - 2z + D = 0\),
với \(D\) là hằng số.

Đặt điểm \(B\) \((x, y, z)\) trên mặt phẳng \(P\), ta có:
\(3x - 3y - 2z + D = 0\).

Thay tọa độ của \(A\) vào phương trình trên để tìm \(D\):
\(3(-2) - 3(1) - 2(-1) + D = 0\),
\(D = 8\).

Phương trình cuối cùng của mặt phẳng \(P\) là:
\(3x - 3y - 2z + 8 = 0\).

Để tính bán kính \(r\) của đường tròn giao tuyến, ta tính khoảng cách từ \(A\) đến \(P\). Công thức khoảng cách từ điểm \((x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) là:
\[
d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
\]

Áp dụng vào trường hợp này, ta có:
\(d = \frac{|3(-2) - 3(1) - 2(-1) + 8|}{\sqrt{3^2 + (-3)^2 + (-2)^2}} = \frac{16}{\sqrt{22}}\).

Vậy, đáp án đúng là:
C. \((P)\): \(2x + 2y - z + 1 = 0\), \(r = \frac{16}{\sqrt{22}}\).

...Xem thêm

Answer 2