Khi hai kim của đồng hồ vuông góc với nhau, chúng tạo thành một góc $90^\circ$ và độ dài lần lượt là $x$ và $y$. 

Gọi $\theta$ là góc giữa kim giờ và kim phút. Theo định lý cosin của tam giác vuông, ta có:

$x^2 + y^2 - 2xy\cos\theta = d^2,$

trong đó $d$ là độ dài của kim giây.

Với đồng hồ 3 kim, kim giây cũng quay nên ta không biết được vị trí của kim giờ và kim phút sau một khoảng thời gian nhất định. Tuy nhiên, nếu ta xem xét khoảng thời gian từ 12 giờ đến 6 giờ, thì kim giờ và kim phút sẽ không cắt nhau. Ở bất cứ thời điểm nào nằm trong khoảng thời gian này, độ dài kim giờ và kim phút luôn thỏa mãn:

$x^2 + y^2 - 2xy\cos\theta > d^2,$

hay

$\cos\theta < \frac{x^2 + y^2 - d^2}{2xy}.$

Do $x$ và $y$ đều nhỏ hơn $1$, ta có:

$\frac{x^2 + y^2 - d^2}{2xy} < \frac{1 + 1 - 1}{2} = 0.5.$

Vì vậy, $\cos\theta$ phải nhỏ hơn $0.5$. Như vậy, góc $\theta$ giữa kim giờ và kim phút phải lớn hơn $60^\circ$.

Khoảng thời gian gần nhất để hai kim vuông góc với nhau sẽ ở giữa khoảng thời gian từ 1 giờ đến 2 giờ. Ta có thể tính được độ dài của hai kim:

- Kim giờ: 1/12 vòng tròn = 30 độ. Độ dài của kim giờ $x = \frac{1}{2} \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{4}.$

- Kim phút: Độ dài của kim phút $y = \frac{1}{2}.$

Từ đó suy ra: 

$x^2 + y^2 - 2xy\cos\theta = d^2 \Leftrightarrow \frac{3}{16} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = d^2,$

hay 

$d^2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{4}.$

Vậy, độ dài của kim giây là $d = \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{4}}.$

Về mặt thời gian, nếu 2 kim giờ và kim phút đồng hồ vuông góc với nhau vào khoảng thời gian giữa 1 giờ và 2 giờ, thì phải xảy ra vào khoảng thời gian nửa giờ như sau:

- Khoảng thời gian từ 1 giờ đến 1 giờ 30 phút (tức $30$ phút sau 1 giờ).

- Khoảng thời gian từ 1 giờ 45 phút đến 2 giờ (tức $15$ phút trước 2 giờ).

Vậy, thời điểm gần nhất mà hai kim của đồng hồ vuông góc với nhau là vào khoảng thời gian $1:30$ hay $1:45$ giờ.