a) Chứng minh số tự nhiên chia hết cho 3 thì sẽ chia hết cho 9: Chúng ta biết rằng một số tự nhiên chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Giả sử số tự nhiên đó có dạng ABC, trong đó A, B, và C lần lượt là các chữ số. Khi đó, ta có:

ABC = 100A + 10B + C

Vì 100A, 10B, và C đều chia hết cho 3 (vì chúng là bội số của 3), nên tổng chúng cũng chia hết cho 3:

100A + 10B + C ≡ A + B + C (mod 3)

Nếu tổng A + B + C chia hết cho 3, thì 100A + 10B + C cũng chia hết cho 3. Giả sử tổng A + B + C = 3k, trong đó k là một số tự nhiên. Khi đó, ta có:

100A + 10B + C = 3k

Nhân cả hai vế của phương trình trên với 3, ta được:

300A + 30B + 3C = 9k

Vì 300A + 30B + 3C chia hết cho 9 (vì chúng là bội số của 9), nên 3k cũng chia hết cho 9. Do đó, số tự nhiên ABC chia hết cho 3 thì cũng chia hết cho 9.

b) Chứng minh số tự nhiên chia hết cho 9 thì chắc chắn sẽ chia hết cho 3: Chứng minh này được rút ra từ chứng minh a) trên. Vì mỗi số tự nhiên chia hết cho 9 cũng chia hết cho 3, nên số tự nhiên chia hết cho 9 chắc chắn sẽ chia hết cho 3.