Để giải bài toán này, ta sử dụng phương pháp đặt t = x/y để giải hệ phương trình.

Thay t = x/y vào phương trình log2 (3x^2 + 10xy + 20y^2) = log5(x^2 + 2xy + 3y^2), ta được:

log2 (3t^2 + 10t + 20) = log5(t^2 + 2t + 3)

Áp dụng tính chất logarit ta có:

3t^2 + 10t + 20 = 5^(log5(t^2 + 2t + 3))

3t^2 + 10t + 20 = t^2 + 2t + 3

2t^2 + 8t + 17 = 0

Áp dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

t = [-8 ± sqrt(8^2 - 4217)]/4

t = [-8 ± sqrt(144)]/4

t1 = -2 và t2 = -3/2

Vì t = x/y, nên x = ty. Do đó, ta có:

x1 = -2y và x2 = (-3/2)y

Điều kiện để mỗi y có duy nhất số thực x thỏa mãn là không có hai giá trị tương ứng của y cho cùng một giá trị của x. Vì vậy, ta cần loại bỏ các giá trị y mà tương ứng với chúng có cùng giá trị x.

-2y = (-3/2)y khi và chỉ khi y = 0

Vậy, ta loại bỏ y = 0 khỏi đoạn (-1/5; 1/5). Vì vậy, số lượng số thực y thỏa mãn là:

(-1/5; 1/5) - {0} = ( -1/5, 0) U (0, 1/5)

Do đó, có vô số số thực y thuộc đoạn (-1/5; 1/5) sao cho mỗi y có duy nhất số thực x thỏa mãn log2 (3x^2 + 10xy + 20y^2) = log5(x^2 + 2xy + 3y^2).

Để giải bài toán này, ta sử dụng phương pháp đặt t = x/y để giải hệ phương trình.

Thay t = x/y vào phương trình log2 (3x^2 + 10xy + 20y^2) = log5(x^2 + 2xy + 3y^2), ta được:

log2 (3t^2 + 10t + 20) = log5(t^2 + 2t + 3)

Áp dụng tính chất logarit ta có:

3t^2 + 10t + 20 = 5^(log5(t^2 + 2t + 3))

3t^2 + 10t + 20 = t^2 + 2t + 3

2t^2 + 8t + 17 = 0

Áp dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

t = [-8 ± sqrt(8^2 - 4217)]/4

t = [-8 ± sqrt(144)]/4

t1 = -2 và t2 = -3/2

Vì t = x/y, nên x = ty. Do đó, ta có:

x1 = -2y và x2 = (-3/2)y

Điều kiện để mỗi y có duy nhất số thực x thỏa mãn là không có hai giá trị tương ứng của y cho cùng một giá trị của x. Vì vậy, ta cần loại bỏ các giá trị y mà tương ứng với chúng có cùng giá trị x.

-2y = (-3/2)y khi và chỉ khi y = 0

Vậy, ta loại bỏ y = 0 khỏi đoạn (-1/5; 1/5). Vì vậy, số lượng số thực y thỏa mãn là:

(-1/5; 1/5) - {0} = ( -1/5, 0) U (0, 1/5)

Do đó, có vô số số thực y thuộc đoạn (-1/5; 1/5) sao cho mỗi y có duy nhất số thực x thỏa mãn log2 (3x^2 + 10xy + 20y^2) = log5(x^2 + 2xy + 3y^2).
7:56