Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Bài toán:
Tam giác ABCABCABC có AMAMAM là đường trung tuyến (MMM là trung điểm BCBCBC).
Một đường a∥BCa \parallel BCa∥BC cắt AB,AC,AMAB, AC, AMAB,AC,AM theo thứ tự E,F,NE, F, NE,F,N.
Chứng minh: EN=NFEN = NFEN=NF.

**Bước 1: Sử dụng định lý Thales
Đường a∥BCa \parallel BCa∥BC → tỉ lệ đoạn thẳng theo định lý Thales:

AEEB=AFFC\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC}EBAE=FCAF
Bước 2: Gọi tỉ số AM
Gọi MMM là trung điểm BCBCBC → BM=MCBM = MCBM=MC
Đặt: AN:NM=k:(1−k)AN : NM = k : (1-k)AN:NM=k:(1−k) (tạm thời, theo tỉ lệ đoạn trên AM).
Ta muốn chứng minh EN=NFEN = NFEN=NF, tức tỉ lệ EN:NF=1EN : NF = 1EN:NF=1.

Bước 3: Sử dụng hình tọa độ (cách nhanh và rõ ràng)
Đặt A=(0,0)A=(0,0)A=(0,0), B=(0,2)B=(0,2)B=(0,2), C=(2,0)C=(2,0)C=(2,0) → trung điểm M=(1,1)M = (1,1)M=(1,1)
Đường AMAMAM có phương trình: y=xy = xy=x
Đường BCBCBC có phương trình: y=−x+2y = -x + 2y=−x+2
Đường a∥BCa \parallel BCa∥BC → phương trình: y=−x+ky = -x + ky=−x+k, với kkk cố định.

Tìm giao điểm:

Với AB: AB: x = 0 → E = (0, k)
Với AC: AC: y = 0 → F = (k, 0)
Với AM: y = x → N = (k/2, k/2)

Bước 4: Tính EN và NF
EN = khoảng cách từ E=(0,k) đến N=(k/2,k/2):
EN=(k/2−0)2+(k/2−k)2=(k/2)2+(−k/2)2=k2/4+k2/4=k2EN = \sqrt{(k/2 - 0)^2 + (k/2 - k)^2} = \sqrt{(k/2)^2 + (-k/2)^2} = \sqrt{k^2/4 + k^2/4} = \frac{k}{\sqrt{2}} EN=(k/2−0)2+(k/2−k)2=(k/2)2+(−k/2)2=k2/4+k2/4=2kNF = khoảng cách từ N=(k/2,k/2) đến F=(k,0):
NF=(k−k/2)2+(0−k/2)2=(k/2)2+(−k/2)2=k2NF = \sqrt{(k - k/2)^2 + (0 - k/2)^2} = \sqrt{(k/2)^2 + (-k/2)^2} = \frac{k}{\sqrt{2}}NF=(k−k/2)2+(0−k/2)2=(k/2)2+(−k/2)2=2k✅ Vậy EN = NF

Kết luận:
Bằng cách hình tọa độ, ta thấy N là trung điểm của EF, nên:

EN=NF\boxed{EN = NF}EN=NF

...Xem thêm

Answer 2

Bài toán:
Tam giác ABCABCABC có AMAMAM là đường trung tuyến (MMM là trung điểm BCBCBC).
Một đường a∥BCa \parallel BCa∥BC cắt AB,AC,AMAB, AC, AMAB,AC,AM theo thứ tự E,F,NE, F, NE,F,N.
Chứng minh: EN=NFEN = NFEN=NF.

**Bước 1: Sử dụng định lý Thales
Đường a∥BCa \parallel BCa∥BC → tỉ lệ đoạn thẳng theo định lý Thales:

AEEB=AFFC\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC}EBAE=FCAF
Bước 2: Gọi tỉ số AM
Gọi MMM là trung điểm BCBCBC → BM=MCBM = MCBM=MC
Đặt: AN:NM=k:(1−k)AN : NM = k : (1-k)AN:NM=k:(1−k) (tạm thời, theo tỉ lệ đoạn trên AM).
Ta muốn chứng minh EN=NFEN = NFEN=NF, tức tỉ lệ EN:NF=1EN : NF = 1EN:NF=1.

Bước 3: Sử dụng hình tọa độ (cách nhanh và rõ ràng)
Đặt A=(0,0)A=(0,0)A=(0,0), B=(0,2)B=(0,2)B=(0,2), C=(2,0)C=(2,0)C=(2,0) → trung điểm M=(1,1)M = (1,1)M=(1,1)
Đường AMAMAM có phương trình: y=xy = xy=x
Đường BCBCBC có phương trình: y=−x+2y = -x + 2y=−x+2
Đường a∥BCa \parallel BCa∥BC → phương trình: y=−x+ky = -x + ky=−x+k, với kkk cố định.

Tìm giao điểm:

Với AB: AB: x = 0 → E = (0, k)
Với AC: AC: y = 0 → F = (k, 0)
Với AM: y = x → N = (k/2, k/2)

Bước 4: Tính EN và NF
EN = khoảng cách từ E=(0,k) đến N=(k/2,k/2):
EN=(k/2−0)2+(k/2−k)2=(k/2)2+(−k/2)2=k2/4+k2/4=k2EN = \sqrt{(k/2 - 0)^2 + (k/2 - k)^2} = \sqrt{(k/2)^2 + (-k/2)^2} = \sqrt{k^2/4 + k^2/4} = \frac{k}{\sqrt{2}} EN=(k/2−0)2+(k/2−k)2=(k/2)2+(−k/2)2=k2/4+k2/4=2kNF = khoảng cách từ N=(k/2,k/2) đến F=(k,0):
NF=(k−k/2)2+(0−k/2)2=(k/2)2+(−k/2)2=k2NF = \sqrt{(k - k/2)^2 + (0 - k/2)^2} = \sqrt{(k/2)^2 + (-k/2)^2} = \frac{k}{\sqrt{2}}NF=(k−k/2)2+(0−k/2)2=(k/2)2+(−k/2)2=2k✅ Vậy EN = NF

Kết luận:
Bằng cách hình tọa độ, ta thấy N là trung điểm của EF, nên:

EN=NF\boxed{EN = NF}EN=NF

2 câu trả lời 553

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8