Lý thuyết & Phương pháp giải

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là

ax + by = c   (1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

CHÚ Ý

a. Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x₀; y₀) đều là nghiệm.

b. Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành

y = (-a/b)x + c/b   (2)

Cặp số (x₀; y₀) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(x₀; y₀) thuộc đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (1).

Giải hệ phương trình (1) là tìm tập nghiệm của nó

Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

Biểu diễn hình học của tập nghiệm:

Nghiệm (x; y) của hệ (I) là tọa độ điểm M(x; y) thuộc cả 2 đường thẳng:

(d₁): a₁x + b₁1y = c₁ và (d₂): a₂x + b₂y = c₂

   + Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔(d₁) và (d₂) cắt nhau.

   + Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d₁) và (d₂) song song với nhau.

   + Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ (d₁) và (d₂) trùng nhau.

3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

ax + by + cz = d

trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

Mỗi bộ ba số (x₀, y₀, z₀) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (2).

Phương pháp giải

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hệ phương trình . Tìm các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Ta có :

Đẳng thức xảy ra khi a = 1/2

Bài 2: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

ĐK: xy ≠ 0. Khi đó

Bài 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên (a; b) sao cho hệ phương trình

 vô nghiệm

Hướng dẫn:

Ta có ax + y = 2 ⇒ y = 2 - ax

Thay vào phương trình 6x + by = 6 có

6x + b(2-ax) = 6 ⇔ x(6-ab) + 2b - 6 = 0

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình x(6-ab) + 2b - 6 = 0 vô nghiệm

Do (a; b) nguyên nên (a; b) = {(6; 1); (1; 6); (-6; -1); (-1; -6); (-2; -3); (-3; -2); (3; 2)}

Bài 4: Gọi (x₀; y₀; z₀) là nghiệm của hệ phương trình 

Tính giá trị của biểu thức P = x₀y₀z₀

Hướng dẫn:

Ta có 

Phương trình (3) ⇔ z = 24 - 3x - 2y. Thay vào (1) và (2) ta được hệ phương trình

Suy ra z = 24 - 3.4 - 2.5 = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (4; 5; 2) → P = 4.5.2 = 40

Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình

có duy nhất một nghiệm.

Hướng dẫn:

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra

Hệ phương trình

Có nghiệm duy nhất khi (1; -2) là nghiệm của phương trình 2mx + 5y - m = 0 tức là 2m.1 + 5.(-2) - m = 0 ⇔ m = 10

Bài 6: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Ta có: y = 1-√2x ⇒ 3x + √2(1-√2.x) = 2 ⇒ x = 2 - √2 ⇒ y = 3 - 2√2

b. Ta có: Thế y = 4 - 2x vào phương trình y + z = 2 + √2 ta được -2x + z = -2 + √2

Giải hệ  ta được x = 1; z = √2 ⇒ y = 2