Lý thuyết & Phương pháp giải

a. Định lí Vi-ét.

Hai số x₁ và x₂ là các nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức x₁ + x₂ = -b/a và x₁.x₂ = c/a

b. Ứng dụng.

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

- Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) = ax² + bx + c có hai nghiệm x₁ và x₂ thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x² - Sx + P = 0.

- Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:

- Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = -b/a, P = c/a. khi đó

   + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

   + Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

   + Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi

Ví dụ minh họa

Bài 1: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - (2m+1)x + m² + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức có giá trị nguyên

Hướng dẫn:

Ta có Δ = (2m + 1)² - 4(m² + 1) = 4m - 3

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ m ≥ 3/4

Theo định lý Viet, ta có 

Khi đó

Do m ≥ 3/4 nên 2m + 1 ≥ 5/2

Để P ∈ Z thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2m + 1 = 5 ⇔ m = 2

Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn)

Bài 2: Giả sử phương trình x² - (2m+1)x + m² + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x₁, x₂. Tính giá trị biểu thức P = 3x₁x₂ - 5(x₁ + x₂) theo m

Hướng dẫn:

Theo định lý Viet, ta có

Thay vào P, ta được P = 3(m² + 2) - 5(2m + 1) = 3m² - 10m + 1

Bài 3: Giả sử phương trình 2x² - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Tính giá trị của biểu thức T = |x₁ - x₂|

Hướng dẫn:

Vì x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 2x² - 4ax - 1 = 0

Theo hệ thức Viet, ta có x₁ + x₂ = -(-4a/2) = 2a và x₁.x₂ = -1/2     (1)

Ta có T = |x₁ - x₂| ⇔ T² = (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂    (2)

Từ (1) và (2) suy ra T² = (2a)² -4.(-1/2) = 4a² + 2 ⇒ T = √(4a² + 2) > 0

Bài 4: Cho hai phương trình x² - mx + 2 = 0 và x² + 2x - m = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3?

Hướng dẫn:

Gọi x₀ là một nghiệm của phương trình x² - mx + 2 = 0

Suy ra 3-x₀ là một nghiệm của phương trình x² + 2x - m = 0

Khi đó, ta có hệ

Thay (2) vào (1), ta được x₀² - (x₀² - 8x₀ + 15)x₀ + 2 = 0

cho ta 3 giá trị của m cần tìm

Bài 5: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 2(m+1)x + m² + 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x₁x₂ - 2(x₁ + x₂) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Ta có Δ' = (m+1)² - (m² + 2) = 2m - 1

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ m ≥ 1/2.    (*)

Theo định lý Viet, ta có 

Khi đó 1

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = 2

Bài 6: Cho phương trình x² - 3x - 5 = 0. Khi đó tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Phương trình x² - 3x - 5 = 0 (*), có Δ = (-3)² - 4.(-5) = 29 > 0 → (*) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo hệ thức Viet, ta có