Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

Bài 3: Tìm m để hàm số:là hàm số chẵn.

Bài 4: Cho ham số:

a) Với a = 1, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số.

b) Tìm a để hàm số đồng biến trên (2; +∞)

Bài 5: Cho hàm số y = √(x-1) + x² - 2x

a) Xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên [1; +∞)

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2; 5]

Bài 6: Chứng minh rằng trên đồ thị (C) của hàm sốtồn tại hai điểm A(x_A; y_A ) và B(x_B; y_B ) thỏa mãn:

Bài 7: Cho hàm số y = ax + b

a) Xác định a, b biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) Vẽ đồ thị hàm số tìm được trong câu a)

c) Tính diện tích tam giác được tạo bởi đồ thị hàm số trong a) và các trục tọa độ.

Bài 8: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau:

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên [0; 2].

Bài 9: Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = 3.

Chứng minh rằng x² + y² + z² + xyz ≥ 4.

Bài 10: Cho hàm số y = -1x²/2 - x + 3/2.

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị trên, tùy theo giá trị của m, hãy cho biết số nghiệm của phương trình x² + 2x + 2m + 1 = 0

Bài 11: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

a) y = x⁴ - 2x²

Đặt t = x², x ∈ [-2;1] ⇒ t ∈ [0;4]

Xét hàm số f(t) = t² - 2t, t ∈ [0;4]

Ta có:

(-b)/(2a) = 1; f(1) = -1; f(0) = 0; f(4) = 8

b) y = x⁴ + 2x³ - x = (x² + x)² - (x² + x)

Đặt t = x² + x. Xét hàm số t = x² + x với x ∈ [-1;1]

Ta có -b/(2a) = -1/2, bảng biến thiên là:

Khi đó, hàm số được viết lại: f(t) = t² - t với t ∈ [(-1)/4; 2].

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f(x) = x⁴ - 4x + 2

TXĐ: D = R

Ta có: f(1) = -1; f(-1) = 7

Vậy hàm số không chẵn không lẻ.

b) f(x) = ||x + 2| - |x - 2||

TXĐ: D = R.

Với mọi x ∈ R ta có -x ∈ R, và:

f(-x) = ||-x + 2| - |-x - 2|| = ||x + 2| - |x - 2|| = f(x)

Vậy f(x) = ||x + 2| - |x - 2|| là hàm số chẵn.

Vậy hàm số là hàm số lẻ.

d)

Ta có TXĐ: D = R.

Dễ thấy mọi x ∈ R ta có -x ∈ R

Với mọi x > 0 ta có – x < 0 suy ra f(-x) = -1 ⇒ f(-x) = -f(x)

Với mọi x < 0 ta có – x > 0 suy ra f(-x) = 1 ⇒ f(-x) = -f(x)

Và f(-0) = -f(0) = 0.

Do đó với mọi x ∈ R ta có f(-x) = -f(x)

Vậy hàm số là hàm số lẻ.

Bài 3:

ĐKXĐ: x - 2m + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2m - 1

Hàm số đã cho là hàm số lẻ khi f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ D

⇔ [(-x)(x² - 2) + 2m - 1](x - 2m + 1) = -[x(x² - 2) + 2m - 1]((-x) - 2m + 1), ∀ x ∈ D

⇔ x⁴ = 2m(2m - 1), ∀ x ∈ D

⇔ 2m(2m - 1) = 0

Với m = 0, hàm số trở thành:

TXĐ: D = R\{-1}

Ta có: x₀ = 1 ∈ D nhưng -x₀ = -1 ∉ D

Vậy hàm số không là hàm số lẻ.

Với m = 1/2, hàm số trở thành:

TXĐ: D = R \{0}

Dễ thấy mọi x ∈ D ta có -x ∈ D

Vậy m = 1/2 là giá trị cần tìm.

Bài 4:

a) Với a =1, hàm số trở thành:

y = f(x) = x/(x-2)

TXĐ: D = R\{2}

Với x₁; x₂ ∈ D; x₁ ≠ x₂ ta có:

Vậy hàm số nghịch biến trên D.

b) TXĐ: D = R\{2}

Với x₁; x₂ ∈ (2; +∞) ; x₁ ≠ x₂ ta có:

Hàm số đồng biến trên (2; +∞) khi K > 0.

⇔ -2a > 0 ⇔ a < 0

Vậy với a < 0 thì hàm số đồng biến trên (2; +∞).

Bài 5: y = f(x) = √(x-1) + x² - 2x

a) TXĐ: D = [1; +∞)

Với x₁; x₂ ∈ D; x₁ ≠ x₂ ta có:

b) Do hàm số đồng biến trên đoạn [2; 5] nên ∀ x ∈ [2;5] ta có:

f(2) ≤ f(x) ≤ f(5) ⇔ 1 ≤ f(x) ≤ 17

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [2; 5] là 1 khi x = 2.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên [2; 5] là 17 khi x = 5.

Bài 6: Chứng minh rằng trên đồ thị (C) của hàm sốtồn tại hai điểm A(x_A; y_A ) và B(x_B; y_B ) thỏa mãn:

Ta có

Suy ra tồn tại hai điểm A(x_A; y_A ) và B(x_B; y_B ) thỏa mãn:

Bài 7:

a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 4 nên b = -4

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên:

0 = a.1 - 4 ⇒ a = 4

Vậy hàm số cần tìm là y = 4x - 4.

b) Đồ thị hàm số y = 4x - 4 là đường thẳng đi qua hai điểm (-4; 0) và (1; 0)

c) Gọi giao điểm của đồ thị hàm số với các trục Ox, Oy lần lượt là A, B

Ta có:

S_OAB = (1/2)OA.OB = (1/2).1.4 = 2

Bài 8:

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

Bài 9:

x² + y² + z² + xyz ≥ 4

⇔ (y + z)² - 2yz + x² + xyz ≥ 4

⇔ (3 - x)² + x² + yz(x - 2) - 4 ≥ 0 (do x + y + z = 3)

⇔ yz(x - 2) + 2x² - 6x + 5 ≥ 0     (2)

Đặt t = yz, do yz ≥ 0 và yz ≤ ((y+z)/2)² = (3-x)²/4 nên

t ∈ [0; (3-x)²/4 ]

khi đó VT(2) là hàm số bậc nhất của biến t , f(t) = (x-2)t + 2x² - 6x + 5.

Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta sẽ chứng minh:

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1.

Bài 10:

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số y = -1x²/2 - x + 3/2 có đỉnh là I (-1; 2) , đi qua các điểm A (0; 3/2) và B (1; 0), C (-3; 0).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = - 1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

b) x² + 2x + 2m + 1 = 0

⇔ -1x²/2 - x + 3/2 = m - 1

Đường thẳng y = m – 1 song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có:

Với m - 1 > 2 ⇔ m > 3 thì đường thẳng y = m – 1 và parabol

y = -1x²/2 - x + 3/2 không cắt nhau.

Với m - 1 = 2 ⇔ m = 3 thì đường thẳng y = m – 1 và parabol

y = -1x²/2 - x + 3/2 cắt nhau tại 1 điểm.

Với m - 1 < 2 ⇔ m < 3 thì đường thẳng y = m – 1 và parabol

y = -1x²/2 - x + 3/2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị âm khi và chỉ khi x ∈ (-∞; -3) ∪ (1; +∞).

d)

Bài 11:

a) D = [1; 2]

b) D = [-2; 2]\{0}

c) D = [2/3; 4/3)

d) D = [1; 6]

e) D = (-3; +∞)