Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Toán học lớp 10 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
1. Phương pháp giải.
Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [α; β] tại điểm x = α hoặc x = β hoặc x = -b/(2a). Cụ thể:
TH 1: a > 0
TH 2: a < 0:
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Hướng dẫn:
Khi đó hàm số trở thành y = t2 - 3t + 1 với t ≥ 1
Bảng biến thiên
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = t2 - 3t + 1 là (-5)/4 khi và chỉ khi t = 3/2 hay
Ví dụ 2: Cho các số thực a, b thoả mãn ab ≠ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn:
Ta có P = t2 - 2 - t + 1 = t2 - t - 1
Xét hàm số f(t) = t2 - t - 1 với t ∈ (-∞;-2] ∪ [2; +∞)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có:
Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + 2(m + 3)x + m2 - 3 = 0, m là tham số.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 và P = 5(x1 + x2 ) - 2x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn:
Ta có Δ' = (m + 3)2 - (m2 - 3) = 6m + 12
Phương trình có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ 6m + 12 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2
Theo định lý Viét ta có:
P = 5(x1 + x2) - 2x1x2 = -10(m + 3) - 2(m2 - 3) = -2m2 - 10m - 24.
Xét hàm số f(m) = -2m2 - 10m - 24 với m ∈ [-2; +∞)
Bảng biến thiên
Suy ra
khi và chỉ khi m = -2
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.
