Lưu ý:

- Các câu hỏi ở cấp độ nhận biết và thông hiểu là các câu hỏi trắc nghiệm khách quan 4 lựa chọn, trong đó có duy nhất 1 lựa chọn đúng.

- Các câu hỏi ở cấp độ vận dụng và vận dụng cao là các câu hỏi tự luận.

- Số điểm tính cho 1 câu trắc nghiệm là 0,2 điểm/câu; số điểm của câu tự luận được quy định trong hướng dẫn chấm nhưng phải tương ứng với tỉ lệ điểm được quy định trong ma trận.

- Trong nội dung kiến thức:

+ (1*): Chỉ được chọn hai câu mức độ vận dụng thuộc hai trong ba nội dung.

+ (1**): Chỉ được chọn một câu mức độ vận dụng cao ở một trong hai nội dung.

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Biểu thức nào dưới đây không phải là tam thức bậc hai?

A. f(x) = 2x² + 5x – 3;

B. f(x) = x² – 9;

C. f(x) = 3²x² + 3x + 4;

D. f(x) = x⁴ – 2x² + 5.

Câu 2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c, (a ≠ 0) và  ∆ = b² – 4ac. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu ∆ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ;                    

B. Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ;             

C. Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ \ $\left\{-\frac{b}{2a}\right\}$;               

D. Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số b, với mọi x ∈ ℝ.

Câu 3. Tam thức bậc hai nào sau đây có biệt thức ∆ = 1 và có hai nghiệm là $x_1=\frac{3}{2}$ và $x_2=\frac{7}{4}$?

A. 8x² – 26x + 21;

B. 4x² – 13x + $\frac{21}{2}$;

C. 4x² + 4x – 15;

D. 2x² – 7x + 6.

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây.

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. f(x) < 0 khi và chỉ khi x ∈ (1; 3);                         

B. f(x) ≤ 0 khi và chỉ khi x ∈ (– ∞; 1] ∪ [3; + ∞);     

C. f(x) > 0 khi và chỉ khi x ∈ (1; 3);                 

D. f(x) ≥ 0 khi và chỉ khi x ∈ [1; 3].

Câu 5. Tam thức nào sau đây luôn dương với mọi giá trị của x?

A. x² – 10x + 2;         

B. x² – 2x – 10;         

C. x² – 2x + 10;         

D. – x² + 2x + 10.

Câu 6. Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?

A. 3x² – 5x + 5 > 3x² + 4x;

B. (x²)² + 2x – 7 ≤ 0;

C. x⁴ + 2x² – 9 > 0;

D. x² + 2x – 3 ≥ 2x² + x.

Câu 7. x = 0 là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. 2x² + 3x + 1 < 0;

B. x² + x – 3 > 0;

C. x² + 2x + 4 < 0;

D. x² – 3x – 1 < 0.

Câu 8. Giá trị nào dưới đây không là một nghiệm của bất phương trình – 2x² + x + 1 ≥ 0?

A. x = 0;

B. x = – 1;

C. x = 1;

D. x = – 2.

Câu 9. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x² – 8x + 7 ≥ 0. Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?

A. (– ∞; 0];                

B. [6; + ∞);                

C. [8; + ∞];                

D. (– ∞; – 1].

Câu 10. Giá trị của m để phương trình – x² + 2(m – 1)x + m – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là

A. (– 1 ; 2);

B. (– ∞; – 1) ∪ (2; + ∞);

C. [– 1; 2];

D. (– ∞; – 1] ∪ [2; + ∞).

Câu 11. Phương trình $\sqrt{-x^2+4x}=2x-2$ có số nghiệm là

A. 0;                             

B. 1;                             

C. 2;                                                               

D. 3.

Câu 12. Giá trị nào sau đây là một nghiệm của phương trình $\sqrt{3x^2-6x+1}=\sqrt{x^2-3}$?

A. 2;                             

B. 4;                             

C. 12;                           

D. 20.

Câu 13. Cho phương trình $\sqrt{-x^2+4x-3}=\sqrt{2m+3x-x^2}$ (1). Để phương trình (1) có nghiệm thì m ∈ [a; b]. Giá trị a² + b² bằng

A. 2;                             

B. 4;                             

C. 1;                             

D. 3.

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ $\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$. Tọa độ của vectơ  là

A. (– 2; – 3);

B. (2; – 3);

C. (– 2; 3);

D. (2; 3).

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 7) và B(– 2; 8). Độ dài đoạn thẳng AB là

A. 5;

B. $\sqrt{37}$;

C. $\sqrt{17}$;

D. 25.

Câu 16. Cho hai vectơ $\overrightarrow{x}=\left(3;-4\right)$, $\overrightarrow{y}=\left(-6;8\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ bằng nhau;

B. Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ cùng phương cùng hướng;

C. Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ cùng phương ngược hướng;

D. Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ đối nhau.

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(3; – 6) và N(5; 2). Tọa độ trung điểm I của MN là

A. (4; – 2);

B. (1; 4);

C. (2; – 8);

D. (2; – 2).

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(4;-m\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(2m+6;1\right)$. Tập giá trị của m để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương là

A. {– 1; 1};

B. {– 1; 2};

C. {– 2; – 1};

D. {– 2; 1}.

Câu 19. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(– 1; 1), C(5; – 1). Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

A. 7;

B. – 5;

C. 5;

D. – 7.

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: – x + 2y + 7 = 0. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là

A. $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$;          

B. $\overrightarrow{n}=\left(-1;2\right)$;          

C. $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$;          

D. $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$.

Câu 21. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 4; 2) và nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;-5\right)$ làm vectơ chỉ phương là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2-4t\\ y=-5+2t\end{array}\right.$;        

B. $\left\{\begin{array}{l}x=-4+2t\\ y=2-5t\end{array}\right.$;        

C. $\left\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=-5+t\end{array}\right.$;          

D. $\left\{\begin{array}{l}x=-4+2t\\ y=2+5t\end{array}\right.$.

Câu 22. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm A(1; – 3) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(-2;7\right)$ làm vectơ pháp tuyến là

A. 2x – 7y + 23 = 0;   

B. – 2x + 7y – 23 = 0;

C. 2x – 7y – 23 = 0;   

D. – 2x – 7y + 23 = 0.

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; – 1) và B(– 6; 2). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng AB?

A. $\left\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-1-t\end{array}\right.$;           

B. $\left\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-1+t\end{array}\right.$;           

C. $\left\{\begin{array}{l}x=-3t\\ y=t\end{array}\right.$;              

D. $\left\{\begin{array}{l}x=-6-3t\\ y=2+t\end{array}\right.$.

Câu 24. Khoảng cách từ điểm M(5; – 1) đến đường thẳng d: 3x + 2y + 13 = 0 là

A. $2\sqrt{13}$;                   

B. $\frac{28}{\sqrt{13}}$;                    

C. 26;                        

D. $\frac{\sqrt{13}}{2}$.

Câu 25. Góc giữa hai đường thẳng a: 6x – 5y + 15 = 0 và b: $\left\{\begin{array}{l}x=10-6t\\ y=1+5t\end{array}\right.$ bằng

A. 30°;                      

B. 90°;                      

C. 60°;                      

D. 45°.

Câu 26. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. x² + 2y² – 4x – 8y + 1 = 0;                          

B. x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0;                          

C. x² + y² – 2x – 8y + 20 = 0;                          

D. 4x² + y² – 10x – 6y – 2 = 0.

Câu 27. Đường tròn (x + 3)² + (y – 4)² = 16 có tâm là

A. I(3; 4);                  

B. I(3; – 4);

C. I(– 3; 4);                                                     

D. I(– 3; – 4).

Câu 28. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm I(1; 2), bán kính bằng 5?

A. x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0;                          

B. x² + y² + 2x + 4 + 20 = 0;

C. x² + y² + 2x + 4y – 20 = 0;

D. x² + y² – 2x – 4y + 20 = 0.

Câu 29. Phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 3) và B(5; – 1) là

A. (x + 3)² + (y – 1)² = 8;                                

B. (x + 3)² + (y + 1)² = 8;                                

C. (x – 3)² + (y + 1)² = 8;                                 

D. (x – 3)² + (y – 1)² = 8.

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0 và điểm A(1; 5). Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A có phương trình là

A. y – 5 = 0;              

B. y + 5 = 0;              

C. x + y – 5 = 0;        

D. x – y – 5 = 0.

Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip nào dưới đây có phương trình chính tắc dạng

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$?

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một hypebol?

A. $x^2-\frac{y^2}{2}=1$;

B. $x^2+\frac{y^2}{3}=1$;

C. $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{3}=-1$;

D. $x^2-\frac{y^2}{5}=-1$.

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol ?

A. y² = 4x;

B. y² = – 2x;

C. x² = – 4y;

D. x² = 2y.

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): 16x² + 25y² = 400. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sai?

A. (E) có trục nhỏ bằng 8;

B. (E) có tiêu cự bằng 3;

C. (E) có trục lớn bằng 10;

D. (E) có các tiêu điểm F₁(– 3; 0) và F₂(3; 0).

Câu 35. Đường hypebol $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$ có tiêu cự bằng

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 6.

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

a) đi qua M(– 1; – 4) và song song với đường thẳng 3x + 5y – 2 = 0;

b) đi qua N(1; 1) và vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 = 0.

Bài 2. (1 điểm) Hình dưới đây mô tả mặt cắt ngang của một chiếc đèn có dạng parabol trong mặt phẳng tọa độ Oxy (x và y tính bằng xen-ti-mét). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

Bài 3. (1 điểm) Hà dự định làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước 7 cm × 13 cm, độ rộng viền xung quanh là x cm (như hình vẽ). Diện tích của viền khung ảnh không vượt quá 44 cm². Hỏi độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là bao nhiêu xen-ti-mét?

-----HẾT-----

Đáp án đề thi Giữa học kì 2 môn Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 1

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

II. Hướng dẫn giải một số câu trắc nghiệm

Câu 9.

Đáp án đúng là: B

Ta có: x² – 8x + 7 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\le 1\\ x\ge 7\end{array}\right.$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; 1] ∪ [7; + ∞].

Do đó, [6; + ∞) ⊄ S.

Câu 10.

Đáp án đúng là: B

Phương trình – x² + 2(m – 1)x + m – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆' > 0

⇔ (m – 1)² – (– 1) . (m – 3) > 0 ⇔ m² – m – 2 > 0 $\iff \left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>2\end{array}\right.$.

Vậy m ∈ (– ∞; – 1) ∪ (2; + ∞).

Câu 11.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{-x^2+4x}=2x-2$ ta được

– x² + 4x = 4x² – 8x + 4.

Sau khi thu gọn ta được 5x² – 12x + 4 = 0. Từ đó tìm được x = 2 hoặc $x=\frac{2}{5}$.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.

Câu 12.

Đáp án đúng là: A

Cách 1. Thay lần lượt các giá trị ở từng đáp án vào cho đến khi tìm được giá trị thỏa mãn.

Cách 2. Giải phương trình

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{3x^2-6x+1}=\sqrt{x^2-3}$ ta được

3x² – 6x + 1 = x² – 3.

Rút gọn ta được x² – 3x + 2 = 0. Từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = 2.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.

Câu 13.

Đáp án đúng là: C

Ta có: 

$$\begin{gathered} \sqrt{-x^2+4x-3}=\sqrt{2m+3x-x^2} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-x^2+4x-3\ge 0\\ -x^2+4x-3=2m+3x-x^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}1\le x\le 3\\ x=2m+3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để phương trình (1) có nghiệm thì 1 ≤ 2m + 3 ≤ 3 ⇔ – 1 ≤ m ≤ 0 ⇒ m ∈ [– 1; 0].

Suy ra a = – 1, b = 0, do đó a² + b² = 1.  

Câu 18.

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương $\iff \overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4=k\left(2m+6\right)\\ -m=k\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=-2\end{array}\right.$ .

Câu 19.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-2;-1\right),\overrightarrow{AC}=\left(4;-3\right)$.

Do đó, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(-2\right)\cdot 4+\left(-1\right)\cdot \left(-3\right)=-8+3=-5$.

Câu 23.

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Thay tọa độ các điểm A, B lần lượt vào các phương trình trong các đáp án thì thấy đáp án B không thỏa mãn.

Cách 2. Nhận thấy rằng các phương trình ở các đáp án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó cùng phương, riêng chủ có đáp án B thì không. Do đó chọn đáp án B.

Câu 24.

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm M(5; – 1) đến d: 3x + 2y + 13 = 0 là

$d\left(M,d\right)=\frac{\left|3\cdot 5+2\cdot \left(-1\right)+13\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{26}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}$.

Câu 25.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng a có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(6;-5\right)$;

Đường thẳng b có một vectơ  chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(-6;5\right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(5;6\right)$.

Ta thấy: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=6\cdot 5+\left(-5\right)\cdot 6=0$.

Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng 90°.

Câu 29.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm I của AB và có bán kính bằng nửa độ dài đoạn AB.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(4;-4\right)$, suy ra $AB=\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2}=4\sqrt{2}$.

Suy ra bán kính đường tròn là $R=\frac{AB}{2}=2\sqrt{2}$.

Tọa độ tâm là $\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{1+5}{2}=3\\ y_I=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1\end{array}\right.$. Suy ra I(3; 1).

Phương trình đường tròn cần lập là: (x – 3)² + (y – 1)² = 8.

Câu 30.

Đáp án đúng là: A

Ta có: 1² + 5² – 2 . 1 – 4 . 5 – 4 = 0, do đó A thuộc đường tròn (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại A(1; 5) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AI}=\left(0;-3\right)$, nên có phương trình

0(x – 1) – 3(y – 5) = 0 hay y – 5 = 0.

Câu 34.

Đáp án đúng là: B

Ta có: 16x² + 25y² = 400 $\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Do đó, elip (E) có a = 5, b = 4, nên c = 3.

Vậy (E) có trục nhỏ bằng 2b = 8, có trục lớn bằng 2a = 10, có tiêu cự bằng 2c = 6 và có các tiêu điểm F₁(– 3; 0) và F₂(3; 0). Do đó, đáp án B sai.

Câu 35.

Đáp án đúng là: D

Ta có: a² = 5 và b² = 4 nên c² = a² + b² = 9, suy ra c = 3.

Vậy tiêu cự của hypebol là 2c = 6.

III. Hướng dẫn giải tự luận

Bài 1. (1 điểm)

a) Gọi đường thẳng cần lập là d.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 3x + 5y – 2 = 0 cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nên phương trình đường thẳng d có dạng 3x + 5y + c = 0 (c ≠ – 2).

Vì d đi qua điểm M(– 1; – 4) nên 3 . (– 1) + 5 . (– 4) + c = 0. Suy ra c = 23 (t/m).

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là 3x + 5y + 23 = 0.

b) Gọi đường thẳng cần lập là a.

Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 nên lấy vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)$ của đường thẳng 2x + 3y + 7 là vectơ chỉ phương của đường thẳng a. Khi đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng a là $\overrightarrow{n_a}=\left(3;-2\right)$.

Đường thẳng a đi qua điểm N(1; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_a}=\left(3;-2\right)$ nên có phương trình là 3(x – 1) – 2(y – 1) = 0 hay 3x – 2y – 1 = 0.

Bài 2. (1 điểm)

Parabol có phương trình chính tắc là: y² = 2px (p > 0).

Vì AB = 40 cm và h  = 30 cm nên A(30; 20).

Do A(30; 20) thuộc parabol nên ta có: 20² = 2p . 30 $\Rightarrow p=\frac{20}{3}$.

Vậy parabol có phương trình chính tắc là: y² = $\frac{40}{3}x$.

Bài 3. (1 điểm)

Diện tích hình chữ nhật bên trong khung ảnh (không bao gồm viền) là 7 . 13 = 91 (cm²).

Vì độ rộng viền xung quanh là x cm nên x > 0 và kích thước của khung ảnh là (7 + 2x) cm × (13 + 2x) cm.

Diện tích viền khung ảnh là: (7 + 2x)(13 + 2x) – 91 = 4x² + 40x (cm²).

Theo bài ra ta có: 4x² + 40x ≤ 44.

Giải bất phương trình trên ta được x ∈ [– 11; 1]. Do x > 0 nên x ∈ (0; 1].

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Giữa học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 60 phút

Đề thi Học kì 1 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - (Đề số 2)