I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm)

Câu 1. Giá trị x nào sau đây là nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2+3x-5}=x+1$?

A. x = –3;            

B. x = 2;               

C. Cả A và B đều đúng;           

D. Cả A và B đều sai.

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình (2x – 5)(x + 2) ≥ x² – 4 là:

A. [–2; 3);            

B. (–∞; –2) ∪ (3; +∞).;            

C. ℝ;          

D. (–∞; –2] ∪ [3; +∞).

Câu 3. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?

A. 3x² – 12x + 1 ≤ 0;               

B. 2x³ + 5 > 0;               

C. x² + x – 1 = 0;            

D. –x + 7 > 0.

Câu 4. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu ∆ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, ∀x ∈ ℝ;           

B. Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, ∀x ∈ ℝ;             

C. Nếu ∆ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, ∀x ∈ ℝ \ $\left\{-\frac{b}{2a}\right\}$;                

D. Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số b, ∀x ∈ ℝ.

Câu 5. Cho kiểu gen AaBb. Giả sử quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường và không xảy ra đột biến. Sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử được biểu diễn như hình bên.

Từ sơ đồ cây, số loại giao tử của kiểu gen AaBb là:

A. 4;           

B. 2;           

C. 8;           

D. 16.

Câu 6. Trong một hộp chứa 6 quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7; 8; 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?

A. 27;         

B. 9;           

C. 6;           

D. 3.

Câu 7. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất (một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập) thì số cách chọn khác nhau là:

A. 24;         

B. 480;                

C. 48;         

D. 60.

Câu 8. Cho tập hợp X gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k (1 ≤ k ≤ n). Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

A. Một kết quả bất kì của sự sắp xếp k phần tử bất kì của tập hợp X;            

B. Một kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập X và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó;                

C. Một số được tính bởi công thức: n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1);         

D. Một kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập X.

Câu 9. Giá trị của $A_{12}^4$ bằng:

A. 12.11.10.9.8.7.6.5.4;           

B. 4.3.2.1;            

C. 12.11.10.9;                

D. 8!.

Câu 10. Trong một trường có 4 học sinh giỏi lớp 12, 3 học sinh giỏi lớp 11 và 5 học sinh giỏi lớp 10. Cần chọn 5 học sinh giỏi để tham gia một cuộc thi với các trường khác sao cho khối 12 có 3 em và mỗi khối 10, 11 có đúng 1 em. Vậy số tất cả các cách chọn là

A. 60;         

B. 180;                

C. 330;                

D. 90.

Câu 11. Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + 2b)⁵ bằng

A. 4;

B. 5;

C. 6;

D. 7.

Câu 12. Số hạng chứa x³y trong khai triển ${\left(xy+\frac{1}{y}\right)}^5$ là:

A. 3x³y;               

B. 5x³y;               

C. 10x³y;             

D. 4x³y.

Câu 13. Số hạng không chứa x trong khai triển $P\left(x\right)={\left(x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^5$ (x ≠ 0) (theo chiều số mũ của x giảm dần) là số hạng thứ:

A. 3;           

B. 6;           

C. 4;           

D. 5.

Câu 14. Tổng $S=C_5^0+3C_5^1+3^2{C}_5^2+3^3{C}_5^3+3^4{C}_5^4+3^5{C}_5^5$ bằng:

A. S = 3⁵;             

B. S = 2⁵;             

C. S = 3.2⁵;          

D. S = 4⁵.

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $\overrightarrow{a}=\left(3;4\right)$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là:

A. $\left|\overrightarrow{a}\right|=5$;

B. $\left|\overrightarrow{a}\right|=3$;

C. $\left|\overrightarrow{a}\right|=7$;

D. $\left|\overrightarrow{a}\right|=1$.

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(2; 5) và B(6; 7). Tọa độ C là trung điểm của AB là

A. C = (4; 6);

B. C = (5; 6);

C. C = (4; 5);

D. C = (5; 6);

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{OA}=\left(2;10\right)$. Đâu là tọa độ của điểm A?

A. (0; 0);

B. (10; 2);

C. (‒ 10; ‒ 2);

D. (2; 10).

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(1; 2), B(2; 3), C(1; ‒1) và D(4; 5). Khẳng định nào là đúng?

A. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng;

B. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng;

C. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ vuông góc với nhau;

D. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ tạo với nhau một góc 30°.

Câu 19. Phương trình tham số của đường thẳng nào sau đây có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;3\right)?$

A. $\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=3t+2\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=2t+3\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=t+3\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=t+3\\ y=2t+1\end{array}\right.$.

Câu 20. Góc giữa 2 đường thẳng có thể có số đo nào sau đây?

A. 135°;

B. 67°;

C. 91°;

D. 180°.

Câu 21. Phương trình đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;3\right)$ và đi qua điểm M(3; 4) là

A. 3x – y – 5 = 0;

B. x + 3y – 15 =0;

C. x + 3y + 15 = 0;

D. 3x – y + 15 = 0.

Câu 22. Đường thẳng d đi qua 2 điểm A(1; 3) và B(2; 5). Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng d.

A. $\frac{x}{-\frac{1}{2}}-\frac{y}{1}=1$;

B. $\frac{x}{-2}+\frac{y}{1}=1$;

C. $\frac{x}{-\frac{1}{2}}+\frac{y}{1}=1$;

D. $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1$.

Câu 23. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b) tại điểm M(x₀; y₀) nằm trên đường tròn có dạng:

A. (a – x₀)(x – x₀) – (b – y₀)(y – y₀) = 0;

B. (a – x₀)(x – x₀) + (b – y₀)(y – y₀) = 0;

C. (a + x₀)(x – x₀) – (b + y₀)(y – y₀) = 0;

D. (a + x₀)(x – x₀) + (b + y₀)(y – y₀) = 0.

Câu 24. Tiếp tuyến của đường tròn có tính chất nào sau đây?

A. Cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt;

B. Tiếp tuyến có vectơ chỉ phương là vectơ nối giữa tâm và tiếp điểm;

C. Tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến là vectơ nối giữa tâm và tiếp điểm;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 25. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?

A. x² + y² + 2x – 4y + 9 = 0;

B. x² + y² – 6x + 4y + 13 = 0;

C. 2x² + 2y² – 8x – 4y + 2 = 0;

D. 5x² + 4y² + x – 4y + 1 = 0.

Câu 26. Cho phương trình Hypebol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$. Độ dài trục thực của Hypebol đó là:

A. 3;

B. 4;

C. 6;

D. 8.

Câu 27. Đường chuẩn của Parabol y² = 14x là:

A. $x+\frac{7}{2}=0;$

B. $x-\frac{7}{2}=0;$

C. $x+7=0;$

D. $x-7=0.$

Câu 28. Viết phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 20 và 10.

A. $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{10}=1$ ;

B. $\frac{x^2}{{20}^2}+\frac{y^2}{{10}^2}=1$;

C. $\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$;

D. $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{10}=0$.

Câu 29. Viết phương trình đường tròn tâm I đi qua 3 điểm A(1; 1), B(2; 3) và C(4; 6).

A. x² + y² – 5x + y + 26 = 0;

B. x² + y² – 4x + 17y + 26 = 0;

C. x² + y² – 45x + 17y + 26 = 0;

D. x² + y² – 5x + 27y + 56 = 0.

Câu 30. Một hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó thì được gọi là:

A. Không gian mẫu;                

B. Phép thử;         

C. Phép thử ngẫu nhiên;          

D. Cả B, C đều đúng.

Câu 31. Biến cố là:

A. Một hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó;               

B. Tập con của không gian mẫu;                 

C. Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ngẫu nhiên;                 

D. Một kết quả thuận lợi.

Câu 32. Cho 3 hộp, mỗi hộp đựng 5 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ. Biến cố nào sau đây là biến cố chắc chắn?

A. X: “Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra đều lớn hơn hoặc bằng 3”;                 

B. Y: “Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 4”;         

C. Z: “Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra bằng 8”;               

D. T: “Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ luôn lớn hơn 15”.

Câu 33. Xác suất của biến cố H được xác định bởi công thức:

A. P(H) = n(H);             

B. $P\left(H\right)=\frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(H\right)}$;          

C. P(H) = n(H).n(Ω);               

D. $P\left(H\right)=\frac{n\left(H\right)}{n\left(\Omega \right)}$.

Câu 34. Có ba chiếc hộp. Mỗi hộp chứa 5 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ rồi cộng các số trên 3 tấm thẻ vừa rút ra lại với nhau. Xác suất để kết quả thu được là số chẵn là:

A. $\frac{1}{6}$;         

B. $\frac{99}{125}$;                

C. $\frac{1}{2}$;         

D. $\frac{26}{125}$.

Câu 35. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1; 3; 5; 7; 9. Xác suất để tìm được một số không có dạng $\overline{135xy}$ là:

A. $\frac{5}{6}$;         

B. $\frac{1}{60}$;                 

C. $\frac{59}{60}$;                 

D. $\frac{1}{6}$.

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

Câu 1. (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(3; 1) và B(– 2; 4). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc trục hoành và đi qua hai điểm A, B.

Câu 2. (1 điểm) Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đen và 2 quả trắng, hộp thứ hai chứa 4 quả đen và 6 quả trắng.

a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất 1 quả. Tính xác suất để lấy được 1 quả đen.

b) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất để lấy được 2 quả cùng màu.

Câu 3. (1 điểm) Có 5 bưu thiếp khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Cần chọn 3 bưu thiếp bỏ vào 3 bì thư, mỗi bì thư một bưu thiếp và gửi cho 3 người bạn mỗi bạn một bưu thiếp. Hỏi có mấy cách thực hiện?

Đáp án đề thi Học kì 2 môn Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 1

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm)

BẢNG ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT

Câu 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

2x² + 3x – 5 = (x + 1)²

⇒ 2x² + 3x – 5 = x² + 2x + 1

⇒ x² + x – 6 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = –3.

Với x = 2, ta có $\sqrt{{2.2}^2+3.2-5}=2+1$ (đúng)

Với x = –3, ta có $\sqrt{2{\left(-3\right)}^2+3.\left(-3\right)-5}=-3+1$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 2 và x = –3 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Ta chọn phương án B.

Câu 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có (2x – 5)(x + 2) ≥ x² – 4.

⇔ 2x² – x – 10 ≥ x² – 4.

⇔ x² – x – 6 ≥ 0.

Tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 6 có ∆ = (–1)² – 4.1.(–6) = 25 > 0.

Suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=-2;x_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=3.$

Ta lại có a = 1 > 0.

Vì vậy:

⦁ f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; –2) và (3; +∞);

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc khoảng (–2; 3);

⦁ f(x) = 0 khi x = –2 hoặc x = 3.

Vậy bất phương trình x² – x – 6 ≥ 0 có tập nghiệm là (–∞; –2] ∪ [3; +∞).

Do đó ta chọn phương án D.

Câu 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng:

ax² + bx + c ≤ 0; ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≥ 0; ax² + bx + c > 0 với a ≠ 0.

Trong bốn phương án A, B, C, D, ta thấy chỉ có phương án A là có dạng bất phương trình bậc hai một ẩn dạng ax² + bx + c ≤ 0 với a = 3, b = – 12 và c = 1.

Ta chọn phương án A.

Câu 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), ta có:

⦁ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

Do đó phương án B, D đều sai.

⦁ Nếu ∆ = 0 và $x_0=-\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ x₀.

Do đó phương án C đúng.

⦁ Nếu ∆ > 0 và x₁, x₂ là hai nghiệm của f(x) (x₁ < x₂) thì f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x₁; x₂); f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x₁); (x₂; +∞).

Do đó phương án A sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ sơ đồ cây, ta thấy có 4 kết quả có thể xảy ra.

Do đó số loại giao tử của kiểu gen AaBb là 4.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Việc chọn một trong các quả cầu trong hộp có hai phương án thực hiện:

Phương án 1: Chọn một quả cầu màu trắng, có 6 cách chọn.

Phương án 2: Chọn một quả cầu màu đen, có 3 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, ta có tất cả 6 + 3 = 9 cách chọn một quả cầu trong hộp.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Việc chọn một đồ vật duy nhất có ba phương án thực hiện:

Phương án 1: Chọn một cây bút chì, có 8 cách chọn.

Phương án 2: Chọn một cây bút bi, có 6 cách chọn.

Phương án 3: Chọn một cuốn tập, có 10 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, ta có tất cả 8 + 6 + 10 = 24 cách chọn một đồ vật duy nhất.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi cách lấy k phần tử của tập X và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $A_{12}^4=12.\left(12-1\right).\left(12-2\right).\left(12-3\right)=\mathrm{12.11.10.9}$.

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Công việc chọn học sinh tham gia cuộc thi có 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 3 học sinh giỏi lớp 12.

Mỗi cách chọn 3 học sinh giỏi trong số 4 học sinh giỏi lớp 12 là một tổ hợp chập 3 của 4 phần tử.

Do đó số cách chọn 3 học sinh lớp 12 là: $C_4^3$ (cách).

Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh giỏi lớp 11.

Mỗi cách chọn 1 học sinh giỏi trong số 3 học sinh giỏi lớp 11 là một tổ hợp chập 1 của 3 phần tử.

Do đó số cách chọn 1 học sinh lớp 11 là: $C_3^1$ (cách).

Công đoạn 3: Chọn 1 học sinh giỏi lớp 10.

Mỗi cách chọn 1 học sinh giỏi trong số 5 học sinh giỏi lớp 10 là một tổ hợp chập 1 của 5 phần tử.

Do đó số cách chọn 1 học sinh lớp 10 là: $C_5^1$ (cách).

Vậy theo quy tắc nhân, ta có tất cả $C_4^3.C_3^1.C_5^1=60$ cách chọn 5 học sinh giỏi của trường đó.

Ta chọn phương án A.

Câu 11.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có tổng số mũ của a, b trong mỗi hạng tử khi khai triển (a + b)ⁿ luôn bằng n.

Vậy tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + 2b)⁵ bằng 5.

Câu 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

${\left(xy+\frac{1}{y}\right)}^5$

$=C_5^0{\left(xy\right)}^5{\left(\frac{1}{y}\right)}^0+C_5^1{\left(xy\right)}^4{\left(\frac{1}{y}\right)}^1+C_5^2{\left(xy\right)}^3{\left(\frac{1}{y}\right)}^2$

$+C_5^3{\left(xy\right)}^2{\left(\frac{1}{y}\right)}^3+C_5^4{\left(xy\right)}^1{\left(\frac{1}{y}\right)}^4+C_5^5{\left(xy\right)}^0{\left(\frac{1}{y}\right)}^5$

$=x^5{y}^5+5x^4{y}^4.\frac{1}{y}+10x^3{y}^3.\frac{1}{y^2}+10x^2{y}^2.\frac{1}{y^3}+5xy.\frac{1}{y^4}+\frac{1}{y^5}$

$=x^5{y}^5+5x^4{y}^3+10x^{3}y+10x^2.\frac{1}{y}+5x.\frac{1}{y^3}+\frac{1}{y^5}$

Vậy số hạng chứa x³y trong khai triển ${\left(xy+\frac{1}{y}\right)}^5$ là 10x³y.

Câu 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo nhị thức Newton, ta có:

$P\left(x\right)={\left(x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^5$

$={\left(x^3\right)}^5+5.{\left(x^3\right)}^4.\left(-\frac{1}{x^2}\right)+10.{\left(x^3\right)}^3.{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^2$

$+10.{\left(x^3\right)}^2.{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^3+5.x^3.{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^4+{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^5$

$=x^{15}-5.x^{12}.\frac{1}{x^2}+10.x^9.\frac{1}{x^4}-10.x^6.\frac{1}{x^6}+5.x^3.\frac{1}{x^8}-\frac{1}{x^{10}}$

$=x^{15}-5.x^{10}+10.x^5-10+5.\frac{1}{x^5}-\frac{1}{x^{10}}$.

Ta thấy số hạng không chứa x là số hạng thứ 4 (theo chiều số mũ của x giảm dần).

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 14.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${\left(1+x\right)}^5$

$=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.x+C_5^2{.1}^3.x^2+C_5^3{.1}^2.x^3+C_5^4\mathrm{.1.}{x}^4+C_5^5.x^5$

$=C_5^0+C_5^1.x+C_5^2.x^2+C_5^3.x^3+C_5^4.x^4+C_5^5.x^5$

Cho x = 3, ta có:

${\left(1+3\right)}^5=C_5^0+C_5^1.3+C_5^2{.3}^2+C_5^3{.3}^3+C_5^4{.3}^4+C_5^5{.3}^5$.

Suy ra $S=C_5^0+3C_5^1+3^2{C}_5^2+3^3{C}_5^3+3^4{C}_5^4+3^5{C}_5^5=4^5$.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 15.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Độ dài vectơ $\overrightarrow{a}$ là: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Câu 16.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(2; 5) và B(6; 7) nên ta có:

$x_C=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2+6}{2}=4$ 

$y_C=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{5+7}{2}=6$

Vậy C(4; 6).

Câu 17.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do $\overrightarrow{OA}=\left(2;10\right)$ nên A có tọa độ là (2; 10).

Câu 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: A(1; 2), B(2; 3) nên $\overrightarrow{AB}=\left(2-1;3-2\right)=\left(1;1\right)$;

           C(1; ‒1), D(4; 5) nên $\overrightarrow{CD}=\left(4-1;5+1\right)=\left(3;3\right)$.

Ta thấy: $\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.

Câu 19.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=3t+2\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;3\right)$

Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=2t+3\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;2\right).$

Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=t+2\\ y=t+3\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right).$

Đường thẳng có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=t+3\\ y=2t+1\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;2\right).$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 20.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc giữa 2 đường thẳng luôn là một góc nhỏ hơn hoặc bằng 90°.

Do đó chỉ có B là thỏa mãn.

Câu 21.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;3\right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;-1\right)$.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-1\right)$ và đi qua điểm M(3; 4) nên có phương trình tổng quát là: 3(x – 3) – 1.(y – 4) = 0 hay 3x – y – 5 = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 22.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(1;2\right)$

Suy ra đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$ và đi qua điểm A(1; 3) nên có phương trình tổng quát là:

2(x – 1) – (y – 3) = 0 hay 2x – y + 1 = 0.

Đường thẳng d cắt 2 trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại M$\left(-\frac{1}{2};0\right)$ và $N\left(0;1\right)$.

Vậy phương trình đoạn chắn của đường thẳng d là: $\frac{x}{-\frac{1}{2}}+\frac{y}{1}=1$.

Câu 23.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b) tại điểm M($x_0;y_0$) nằm trên đường tròn có dạng: (a – x₀)(x – x₀) + (b – y₀)(y – y₀) = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 24.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tiếp tuyến của đường tròn có vectơ pháp tuyến là vectơ nối giữa tâm và tiếp điểm.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 25.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta loại phương án D vì không có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Xét phương án A: x² + y² + 2x – 4y + 9 = 0 có a = –1, b = 2 và c = 9.

Do đó a² + b² – c = (–1)² + 2² – 9 = –4 < 0 nên loại A.

Xét phương án B: x² + y² – 6x + 4y + 13 = 0 có a = 3; b = –2 và c = 13

Do đó a² + b² – c = 3² + (–2)² – 13 = 0 nên loại B.

Xét phương án C: 2x² + 2y² – 8x – 4y + 2 = 0

Û x² + y² – 4x – 2y + 1 = 0.

Có a = 2; b = 1 và c = 1.

Do đó a² + b² – c = 2² + 1² – 1 = 4 > 0 nên chọn C.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 26.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Từ phương trình Hypebol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ ta có a² = 16 và b² = 9

Mà a, b > 0 nên a = 4 và b = 3.

Do đó độ dài trục thực của Hypebol là 2a = 8.

Câu 27.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình Parabol y² = 14x ta có 2p = 14 suy ra $\frac{p}{2}=\frac{7}{2}$.

Do đó phương trình đường chuẩn của Parabol là $x+\frac{7}{2}=0.$

Câu 28.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2a = 20 và 2b = 10, do đó: a = 10 và b =5

Khi đó ta có phương trình Elip: $\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$.

Câu 29.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó $M\left(\frac{3}{2};2\right),N\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(1;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$x-\frac{3}{2}+2\left(y-2\right)=0\iff 2x+4y-11=0$

Đường trung trực ∆ của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận $\overrightarrow{AC}=\left(3;5\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$3\left(x-\frac{5}{2}\right)+5\left(y-\frac{7}{2}\right)=0\iff 3x+5y-25=0$

Đường thẳng d cắt đường thẳng ∆ cắt nhau tại điểm $I\left(\frac{45}{2};-\frac{17}{2}\right)$ cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C có tâm $I\left(\frac{45}{2};-\frac{17}{2}\right)$ và bán kính $R^2=I{A}^2={\left(1-\frac{45}{2}\right)}^2+{\left(1+\frac{17}{2}\right)}^2=\frac{1105}{2}$

Ta có ${\left(\frac{45}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{17}{2}\right)}^2-\frac{1105}{2}=26$

Khi đó đường tròn (C) có phương trình là:

x² + y² – 45x + 17y + 36 = 0.

Câu 30.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu. Do đó phương án A sai.

⦁ Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó. Do đó phương án B, C đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 31.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó. Do đó phương án A sai.

⦁ Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. Do đó phương án B đúng.

⦁ Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu. Do đó phương án C sai.

⦁ Một kết quả thuộc biến cố được gọi là kết quả làm cho biến cố xảy ra, hoặc kết quả thuận lợi cho biến cố đó. Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 32.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

⦁ Ta thấy mỗi thẻ đều được đánh số từ 1 đến 5, đây là các số đều lớn hơn hoặc bằng 1.

Do đó khi tính tổng các số ghi trên cả ba tấm thẻ, ta sẽ được tổng các số đó đều lớn hơn hoặc bằng 3.

Vì vậy biến cố X là biến cố chắc chắn.

⦁ Ta có thể rút được 3 thẻ đều được ghi số 1.

Khi đó tổng các số ghi trên cả ba tấm thẻ là bằng 3 < 4 và 3 ≠ 8.

Do đó biến cố Y và biến cố Z không phải là biến cố chắc chắn.

⦁ Trong các số từ 1 đến 5, ta thấy số 5 lớn nhất.

Giả sử ba tấm thẻ được rút ra đều được ghi số 5.

Khi đó tổng ba số là 15.

Vì vậy không có 3 thẻ nào có tổng các số ghi trên thẻ cộng lại lớn hơn 15.

Do đó biến cố T là biến cố không thể.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 33.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xác suất của biến cố H là một số, kí hiệu là P(H), được xác định bởi công thức:

$P\left(H\right)=\frac{n\left(H\right)}{n\left(\Omega \right)}$.

Trong đó n(H) và n(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập H và Ω.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 34.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Ta tìm số phần tử của không gian mẫu:

Giai đoạn 1: Chọn 1 tấm thẻ trong số 5 tấm thẻ ở hộp thứ nhất, ta có $C_5^1$ cách chọn.

Giai đoạn 2: Chọn 1 tấm thẻ trong số 5 tấm thẻ ở hộp thứ hai, ta có $C_5^1$ cách chọn.

Giai đoạn 3: Chọn 1 tấm thẻ trong số 5 tấm thẻ ở hộp thứ ba, ta có $C_5^1$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả $C_5^1.C_5^1.C_5^1=125$ cách chọn.

Do đó n(Ω) = 125.

⦁ Tính số phần tử của biến cố theo yêu cầu bài toán:

Gọi A: “Kết quả thu được là số chẵn”.

Trường hợp 1: 2 thẻ là số lẻ (trong {1; 3; 5}) và 1 thẻ là số chẵn (trong {2; 4}).

Khi đó ta có $C_3^1.C_3^1.C_2^1=18$ cách chọn.

Trường hợp 2: Cả 3 thẻ đều là số chẵn.

Khi đó ta có $C_2^1.C_2^1.C_2^1=8$ cách chọn.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta được n(A) = 18 + 8 = 26.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{26}{125}$.

Ta chọn phương án D.

Câu 35.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 5! = 120.

Gọi biến cố A: “Số tìm được không có dạng $\overline{135xy}$ ”.

Suy ra biến cố đối của biến cố A là: $\overline{A}$: “Số tìm được có dạng $\overline{135xy}$”.

⦁ x có 2 cách chọn là x = 7 hoặc x = 9.

⦁ y có 1 cách chọn.

Theo quy tắc đếm, ta có $n\left(\overline{A}\right)$ = 1.1.1.2.1 = 2 cách chọn.

Vì vậy xác suất của biến cố $\overline{A}$ là: $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}$.

Ta có $P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1$.

Suy ra $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{1}{60}=\frac{59}{60}$.

Vậy ta chọn phương án C.

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

Câu 1. (1 điểm)

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm I(a; 0).

Khi đó:

$\overrightarrow{AI}\left(a-3;-1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{{\left(a-3\right)}^2+1}=\sqrt{a^2-6a+10}$ 

$\overrightarrow{BI}\left(a+2;-4\right)\Rightarrow IB=\sqrt{{\left(a+2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{a^2+4a+20}$

Mà IA = IB = R nên $\sqrt{a^2-6a+10}=\sqrt{a^2+4a+20}$

⇒ a² – 6a + 10 = a² + 4a + 20

⇒ – 10a = 10

⇒ a = – 1

Thay vào lại phương trình ta thấy a = -1 thỏa mãn.

Suy ra I(– 1; 0) và $R=IA=\sqrt{{\left(-1\right)}^2-6\left(-1\right)+10}=\sqrt{17}$.

Vì vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)² + y² = 17.

Câu 2. (1 điểm)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $n\left(\Omega \right)=C_5^1$

Gọi A là biến cố: “Lấy được một quả màu đen”.

Để lấy được một quả bóng đen từ hộp thứ nhất có: n(A) = $C_3^1$.

Vì vậy xác suất để biến cố A xảy ra là: P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_3^1}{C_5^1}=\frac{3}{5}$.

b) Ta có: $n\left(\Omega \right)=C_5^1{C}_{10}^1$

Gọi B là biến cố: “Lấy được 2 quả cùng màu”.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B được chia làm 2 phương án:

Phương án 1: Hai quả bóng lấy ra đều màu đen có $C_3^1.C_4^1$ cách.

Phương án 2: Hai quả bóng lấy ra đều màu trắng có $C_2^1.C_6^1$ cách.

⇒ n(B) = $C_3^1.C_4^1$.

Vì vậy xác suất để biến cố B xảy ra là: P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_3^1.C_4^1+C_2^1.C_6^1}{C_5^1.C_{10}^1}=\frac{12}{25}$.

Câu 3. (1 điểm)

Hướng dẫn giải

Cách để thực hiện được chia làm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 3 bưu thiếp có: $C_5^3$ cách.

Công đoạn 2: Ứng 3 bưu thiếp số cách chọn 3 bì thư là: $C_6^3$ cách.

Công đoạn 3: Có 3! Cách để nhét 3 bưu thiếp vào mỗi phong bì tương ứng.

Vậy có: $C_5^3.C_6^3.2!=1200$ cách.

I. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho đường thẳng $d:3x+5y+2022=0$ . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. có vectơ pháp tuyến ;

B. song song với đường thẳng ;

C. có véctơ chỉ phương ;

D. có hệ số góc .

Câu 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm  và .

A. $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-1+3t\end{array}\right.$;           

B. $\left\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=-1+3t\end{array}\right.$;           

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=5-3t\end{array}\right.$;             

D. $\left\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=-1-3t\end{array}\right.$ .

Câu 3. Cho bảng biến thiên:

Bảng biến thiên đã cho là bảng biến thiên của hàm số nào sau đây?

A. $f\left(x\right)=4-x^2$;

B. $f\left(x\right)=-x^2+3x-2$;

C. $f\left(x\right)=x^2-3x+2$;

D. $f\left(x\right)=x^2-4$.

Câu 4. Nếu tam thức bậc hai $f\left(x\right)=2x^2+ax+b$ có $\Delta \le 0$ thì

A. $f\left(x\right)\ge 0\forall x\in ℝ$;     

B. $f\left(x\right)>0\forall x\in ℝ$;     

C. $f\left(x\right)\le 0\forall x\in ℝ$;     

D. $f\left(x\right)<0\forall x\in ℝ$.

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình $x^2-4x-5\le 0$  là

A. $\left(-\infty ;-5\right]\cup \left[1;+\infty \right)$;

B. $\left(-\infty ;-1\right]\cup \left[5;+\infty \right)$;

C. $\left[-1;5\right]$;

D. $\left[-5;1\right]$ .

Câu 6. Tọa độ tâm I và bán kính  đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-2x-2y-2=0$  là

A. $I\left(2;-3\right)$ và $R=4$ ;    

B. $I\left(2;-3\right)$ và  $R=3$;    

C. $I\left(1;-1\right)$ và $R=2$ ;     

D. $I\left(1;1\right)$ và $R=2$ .

Câu 7. Nghiệm của phương trình $\sqrt{x+1}=2-x$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $\left(2;+\infty \right)$;                  

B. $\left[2;+\infty \right)$;                  

C. $\left(3;5\right)$;                     

D. $\left(-\infty ;2\right)$.

Câu 8. Khoảng cách từ điểm $M\left(2;–3\right)$ đến đường thẳng $d:2x+3y–7=0$ là:

A. $-\frac{12}{13}$;                      

B. $-\frac{12}{\sqrt{13}}$;                    

C. $\frac{12}{\sqrt{13}}$;                      

D. $\frac{12}{13}$.

Câu 9. Đường Elip $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$ có tiêu cự bằng:

A. 3;                           

B. $\frac{9}{16}$;                         

C. $\frac{6}{7}$;                          

D. 6.

Câu 10. Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta :x-\sqrt{3}y+2=0$ và ${\Delta }^{\text{'}}:x+\sqrt{3}y-1=0$ .

A. 60^o;                        

B. 90^o;                        

C. 30^o;                        

D. 120^o.

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $x^2-2x+2m-m^2=0$  có hai nghiệm phân biệt.

A. $\forall m\in ℝ$; 

B. $m>1$;

C.  Không có giá trị m thỏa mãn;                    

D. $m\ne 1$.

Câu 12. Phương trình đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(-2;0\right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:2x+y-1=0$ là:

A. $x^2+{\left(y-2\right)}^2=5$;     

B. ${\left(x+2\right)}^2+y^2=5$;      

C. $x^2+{\left(y+2\right)}^2=5$;     

D. ${\left(x-2\right)}^2+y^2=5$.

Câu 13. Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng $4\sqrt{3}$  và độ dài trục nhỏ bằng 4.

A. $\frac{x^{\text{2}}}{\text{36}}+\frac{y^{\text{2}}}{\text{24}}=1$ ;            

B. $\frac{x^{\text{2}}}{\text{16}}\text{+}\frac{y^{\text{2}}}{\text{4}}=1$ ;

C.  $\frac{x^{\text{2}}}{\text{24}}\text{+}\frac{y^{\text{2}}}{\text{16}}=1$;             

D. $\frac{x^{\text{2}}}{\text{36}}+\frac{y^{\text{2}}}{\text{9}}=1$.

Câu 14. Đường thẳng đi qua điểm $M\left(1;2\right)$  và song song với đường thẳng $d:4x+2y+1=0$ có phương trình tổng quát là

A. $4x+2y+3=0$ ;

B. $x-2y+3=0$ ;

C. $2x+y+4=0$ ;

D. $2x+y-4=0$ .

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta :x-2y+2=0$ và hai điểm $A\left(0;6\right),B\left(2;5\right)$ . Điểm $M\left(a;b\right)$ nằm trên đường $\Delta$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. Tính .

A.  15;

B.  16;                          

C.  17;                          

D.  14.

Câu 16. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=4$ . Tiếp tuyến của đường tròn  song song với đường thẳng $\Delta :4x-3y+2=0$  có phương trình là

A. $4x-3y+18=0$;                                       

B. $4x-3y+18=0;4x-3y-2=0$;

C. $4x-3y-18=0$;

D. $4x-3y-18=0;4x-3y+2=0$ .

Câu 17. Tích tất cả các nghiệm của phương trình $\sqrt{3-2x-x^2}=x+3$  là

A. – 3;                          

B.  0;                            

C.  – 1;                         

D.  3.

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức $f\left(x\right)=-x+2m+5$  có giá trị âm với mọi $x\in \left[-3;1\right]$.

A. $m\le -2$;                  

B. $m<-2$;                  

C. $m\le -4$;                  

D. $m<-4$.

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để biểu thức $\left(m-1\right)x^2+2x-m$ luôn âm?

A.  1.                            

B.  vô số.                      

C.  3.                            

D.  0.

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;2)  , đường phân giác trong góc C có phương trình $d:x-y-3=0$, đường thẳng BC đi qua điểm K(-4;1). Biết trọng tâm của tam giác ABC nằm trên đường thẳng $\Delta :x+2y-2=0$. Tọa độ điểm B(a;b) thỏa mãn đẳng thức nào sau đây?

A. $a+b=-3$;