I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Trong các công thức sau, công thức nào biểu diễn y là hàm số của x?

A. x² + 2y² = 4;

B. (x – 1)² + y² = 25;

C. $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$;

D. 3x – y = 2023.

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới.

Hàm số trên đồng biến trên khoảng

A. (– ∞; 2);

B. (2; + ∞);

C. (1; 3);

D. (– ∞; 0).

Câu 3. Hàm số $y=\frac{5x+3}{\sqrt{3-x}}$ có tập xác định là

A. (3; + ∞);               

B. [– 3; +∞);              

C. (– ∞; 3);                

D. ℝ \ {– 3}.

Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai?

A. y = 2x³ – 3x² + x;  

B. y = (2x²)² – x + 8;  

C. y = x³ + x² + 4x – x³;                                   

D. y = 15 – 4x⁴ – x².

Câu 5. Đồ thị của hàm số bậc hai y = x² + 2x + 8 có trục đối xứng là

A. x = 1;                    

B. x = – 1;                 

C. x = 4;                                                         

D. x = – 4.

Câu 6. Cho hàm số bậc hai f(x) = 2x² + 5x + 9. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

A. $\frac{47}{8}$;                      

B. $-\frac{47}{8}$;                    

C. $\frac{9}{8}$;                        

D. Không tồn tại.

Câu 7. Biểu thức nào dưới đây không phải là tam thức bậc hai?

A. f(x) = x² + 8x + 9;

B. f(x) = 3x² + 10;

C. f(x) = 3x – 1 + x²;

D. f(x) = (x²)² – x² + 4.

Câu 8. Cho tam thức bậc hai f(x) = – 2x² + 8x – 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ;                                                                  

B. f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;                                

C. f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ;                                                                  

D. f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Câu 9. Bất phương trình – x² + 2x + 3 > 0 có tập nghiệm là

A. (– ∞; – 1) ∪ (3; + ∞);                                  

B. (– 1; 3);                 

C. [– 1; 3];                 

D. (– 3; 1).

Câu 10. Phương trình $\sqrt{2x^2+3x-5}=x+1$ có nghiệm là

A. x = 1;                       

B. x = 2;                       

C. x = 3;                                                         

D. x = 4.

Câu 11. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{-x^2+5x-4}=\sqrt{-2x^2+4x+2}$là

A. 0;     

B. 1;                             

C. 2;                             

D. 3.

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: – 2x + 3y + 10 = 0. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

A. $\overrightarrow{u}=\left(-2;3\right)$;          

B. $\overrightarrow{u}=\left(3;-2\right)$;         

C. $\overrightarrow{u}=\left(3;2\right)$;            

D. $\overrightarrow{u}=\left(-3;2\right)$.

Câu 13. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M(1; – 2) và N(4; 3) là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=3-2t\end{array}\right.$;           

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=-2-3t\end{array}\right.$;         

C. $\left\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=4+5t\end{array}\right.$;           

D. $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-2+5t\end{array}\right.$.

Câu 14. Cho đường thẳng d có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=3-5t\\ y=1+4t\end{array}\right.$. Phương trình tổng quát của đường thẳng d là

A. 4x – 5y – 7 = 0;     

B. 4x + 5y – 17 = 0;   

C. 4x – 5y – 17 = 0;   

D. 4x + 5y + 17 = 0.

Câu 15. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng x – 3y – 6 = 0 và 3x + 4y – 1 = 0 là

A. $\left(\frac{27}{13};-\frac{27}{13}\right)$;                                               

B. (– 27; 17);             

C. $\left(-\frac{27}{13};\frac{27}{13}\right)$;                                               

D. (27; – 17).

Câu 16. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d₁: 2x – 3y – 10 = 0 và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2-3t\\ y=1-4mt\end{array}\right.$ vuông góc?

A. $m=\frac{1}{2}$;                 

B. $m=\frac{9}{8}$;                  

C. $m=-\frac{9}{8}$;               

D. $m=-\frac{5}{4}$.

Câu 17. Khoảng cách từ điểm A(– 3; 2) đến đường thẳng ∆: 3x – y + 1 = 0 là

A. $\sqrt{10}$;                    

B. $\frac{11\sqrt{5}}{5}$;                   

C. $\frac{10\sqrt{5}}{5}$;                  

D. $\frac{11}{\sqrt{10}}$.

Câu 18. Góc giữa hai đường thẳng a: 2x + 5y – 2 = 0 và b: 3x – 7y + 3 = 0 bằng

A. 30°;                      

B. 135°;                    

C. 60°;                      

D. 45°.

Câu 19. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. x² + y² – 4xy + 2x + 8y – 3 = 0;                  

B. x² + 2y² – 4x + 5y – 1 = 0;                          

C. x² + y² – 14x + 2y + 2018 = 0;                     

D. x² + y² – 4x + 5y + 2 = 0.

Câu 20. Đường tròn x² + y² – 10y – 24 = 0 có bán kính bằng

A. 49;                       

B. 7;

C. 1;                                                               

D. $\sqrt{29}$.

Câu 21. Phương trình đường có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + y – 2 = 0 là

A. x² + y² = 2;           

B. x² + y² = $\sqrt{2}$;        

C. (x – 1)² + (y – 1)² = $\sqrt{2}$;                             

D. (x – 1)² + (y – 1)² = 2.

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Một quả bóng được ném vào không trung có chiều cao tính từ lúc bắt đầu ném ra được cho bởi công thức h(t) = – t² + 2t + 3 (tính bằng mét), t là thời gian (tính bằng giây, t ≥ 0).

a) Tính chiều cao lớn nhất quả bóng đạt được.

b) Hãy tính xem sau bao lâu quả bóng sẽ rơi xuống mặt đất?

Bài 2. (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x² – 2x + 1 – m² ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2].

Bài 3. (1 điểm) Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 6x + 2y + 6 = 0 và hai điểm A(1; – 1), B(1; 3).

a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A.

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Giữa học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Trong các công thức sau, công thức nào không biểu diễn y là hàm số của x?

A. x + 3y = 7;

B. x² + y² = 5;

C. $y=\sqrt{x^2-2}$;

D. $y=\frac{2}{x}$.

Câu 2. Cho hàm số dưới dạng bảng như sau:

Giá trị của hàm số y tại x = 3 là

A. 2; 

B. 3;

C. 5; 

D. 7.

Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới.

Hàm số trên đồng biến trên khoảng

A. (0; 1);

B. (1; + ∞);

C. (0; + ∞);

D. (– ∞; 0).

Câu 4. Hàm số $y=\frac{x+2}{x^2-3x+2}$ có tập xác định là

A. (1; 2);    

B. [1; 2];     

C. {1; 2};    

D. ℝ \ {1; 2}.

Câu 5. Cho hàm số $y=2\sqrt{x^2-5x}$. Giá trị của hàm số tại x = 10 là

A. 20;         

B. $10\sqrt{2}$;    

C. $2\sqrt{10}$;    

D. Không tồn tại.

Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số bậc hai?

A. y = x² – 5x + 3;     

B. y = 1 – 2x² + 4x;    

C. y = x(x² + x + 1);   

D. y = 7 – x².

Câu 7. Cho hàm số bậc hai y = 2x² + 3x – 8. Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai này là

A. $-\frac{3}{4}$;                     

B. $\frac{3}{4}$;                        

C. $\frac{3}{2}$;                        

D. $-\frac{3}{2}$. 

Câu 8. Hàm số bậc hai y = 2 – 3x² + 4x có hệ số tự do là

A. 2;                         

B. – 3;                       

C. 4;                                                              

D. – 2.

Câu 9. Cho hàm số bậc hai f(x) = 2x² – 8x + 7. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 2), nghịch biến trên khoảng (2; + ∞);         

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 4), nghịch biến trên khoảng (4; + ∞);

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (4; + ∞), nghịch biến trên khoảng (– ∞; 4);

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; + ∞), nghịch biến trên khoảng (– ∞; 2).

Câu 10. Xác định parabol y = ax² + c, biết rằng parabol này đi qua hai điểm A(1; 1) và B(2; – 2).

A. y = – x² + 2;                                              

B. y = x² + 2;             

C. y = 2x² – 1;           

D. y = 2x² + 1.

Câu 11. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. f(x) = 3x² + x – 4 là tam thức bậc hai;

B. f(x) = 3x – 5 là tam thức bậc hai;

C. f(x) = 2x³ + 3x – 2 là tam thức bậc hai;

D. f(x) = (x²)² – x² + 3 là tam thức bậc hai.

Câu 12. Cho hàm số f(x) = ax² + bx + c, (a ≠ 0) và  ∆ = b² – 4ac. Cho biết dấu của ∆ khi f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ.

A. ∆ ≤ 0;                                                       

B. ∆ = 0;                   

C. ∆ > 0;                                                       

D. ∆ < 0.

Câu 13. Cho tam thức f(x) = x² – 8x + 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm;                

B. f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ;                              

C. f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;                              

D. f(x) < 0 khi x < 4.

Câu 14. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. x² – 3x + 2 > 0 khi x ∈ (– ∞; 1) ∪ (2; + ∞);

B. x² – 3x + 2 ≤ 0 khi x ∈ [1; 2];                     

C. x² – 3x + 2 < 0 khi x ∈ [1; 2);                    

D. x² – 3x + 2 ≥ 0 khi x ∈ (– ∞; 1] ∪ [2; + ∞).

Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình x² – 7x + 10 < 0 là

A. S = (– ∞; 2] ∪ [5; + ∞);                             

B. S = (– ∞; 2) ∪ (5; + ∞);                             

C. S = [2; 5];             

D. S = (2; 5).

Câu 16. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?

A. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ là tập nghiệm của phương trình ax² + bx + c = (dx + e)²;      

B. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ là tập hợp các nghiệm của phương trình ax² + bx + c = (dx + e)² thỏa mãn bất phương trình dx + e ≥ 0;            

C. Mọi nghiệm của phương trình ax² + bx + c = (dx + e)² đều là nghiệm của phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$;                                  

D. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ là tập hợp các nghiệm của phương trình ax² + bx + c = (dx + e)² thỏa mãn bất phương trình ax² + bx + c ≥ 0.

Câu 17. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?

A. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$ là tập nghiệm của phương trình ax² + bx + c = dx² + ex + f;                            

B. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$ là tập nghiệm của phương trình (ax² + bx + c)² = (dx² + ex + f)²;                     

C. Mọi nghiệm của phương trình ax² + bx + c = dx² + ex + f đều là nghiệm của phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$;                      

D. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$ là tập hợp các nghiệm của phương trình ax² + bx + c = dx² + ex + f thỏa mãn bất phương trình ax² + bx + c ≥ 0 (hoặc dx² + ex + f ≥ 0).

Câu 18. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{4-3x^2}=2x-1$ là

A. 0;                             

B. 1;                             

C. 2;                                                              

D. 3.

Câu 19. Giá trị nào sau đây là một nghiệm của phương trình$\sqrt{3x^2-6x+1}=\sqrt{x^2-3}$?

A. 2;                             

B. 4;                             

C. 12;                           

D. 20.

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là

A. $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$;          

B. $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$;             

C. $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$;          

D. $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$.

Câu 21. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d: 3x – 2y + 4 = 0?    

A. A(1; 2);

B. B(0; 2);

C. C(2; 0);                                                     

D. D(2; 1).

Câu 22. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(3; 1) và nhận $\overrightarrow{u}=\left(3;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=1-t\end{array}\right.$;           

B. $\left\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=1+t\end{array}\right.$;           

C. $\left\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-1+t\end{array}\right.$;           

D. $\left\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-1-t\end{array}\right.$.

Câu 23. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm A(2; – 2) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;3\right)$ làm vectơ pháp tuyến là

A. x – y + 2 = 0;        

B. – 3x + y + 4 = 0;   

C. x – 3y + 4 = 0;      

D. x + 3y + 4 = 0.

Câu 24. Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=-9-2t\end{array}\right.$. Phương trình tổng quát của đường thẳng d là

A. 2x + y – 1 = 0;      

B. – 2x + y – 1 = 0;    

C. x + 2y + 1 = 0;      

D. 2x + 3y – 1 = 0.

Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(– 2; 3) và B(4; – 1). Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng AB?

A. x + y – 3 = 0;        

B. y = 2x + 2;            

C. $\frac{x-4}{6}=\frac{y-1}{-4}$;        

D. $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1-2t\end{array}\right.$.

Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ, xét hai đường thẳng

∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0; ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0.

và hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}\right.$ (*).

Khi đó, ∆­₁ song song với ∆₂ khi và chỉ khi

A. hệ (*) có vô số nghiệm;                              

B. hệ (*) vô nghiệm;  

C. hệ (*) có nghiệm duy nhất;                         

D. hệ (*) có hai nghiệm.

Câu 27. Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M, ∆), được tính bởi công thức

A. $d\left(M,\Delta \right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$;                         

B. $d\left(M,\Delta \right)=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$;                           

C. $d\left(M,\Delta \right)=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}$;                          

D. $d\left(M,\Delta \right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}$.

Câu 29. Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến đường thẳng d: 5x – 12y – 6 = 0 là

A. 13;                       

B. – 13;                     

C. – 1;                       

D. 1.

Câu 30. Góc giữa hai đường thẳng a: $\sqrt{3}$x – y + 7 = 0 và b: x – $\sqrt{3}$y – 2 = 0 là

A. 30°;                      

B. 90°;                      

C. 60°;                      

D. 45°.

Câu 31. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. 2x² + y² – 6x – 6y – 8 = 0;                         

B. x² + 2y² – 4x – 8y – 12 = 0;                       

C. x² + y² – 2x – 8y + 18 = 0;                         

D. 2x² + 2y² – 4x + 6y – 12 = 0.

Câu 32. Đường tròn (x + 1)² + (y – 2)² = 16 có bán kính bằng bao nhiêu?

A. 16;                       

B. 4;

C. 256;                                                          

D. 8.

Câu 33. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm I(– 1; 2), có bán kính bằng 5?

A. (x – 1)² + (y + 2)² = 25;                             

B. (x + 1)² + (y + 2)² = 25;

C. (x + 1)² + (y – 2)² = 25;

D. (x – 1)² + (y – 2)² = 25.

Câu 34. Phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + 4y – 10 = 0 là

A. (x – 3)² + (y – 4)² = 9;                               

B. (x + 3)² + (y – 4)² = 9;                               

C. (x – 3)² + (y – 4)² = 3;                               

D. (x + 3)² + (y + 4)² = 3.

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C): (x – 2)² + (y + 2)² = 5. Tiếp tuyến tại điểm M(1; 0) thuộc đường tròn (C) có phương trình là

A. y = – 2;                 

B. x = 1;                    

C. x + 2y – 1 = 0;      

D. x – 2y – 1 = 0.

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Giả sử độ cao h (đơn vị: mét) của một quả bóng golf tính theo thời gian t (đơn vị: giây) trong một lần đánh của vận động viên được xác định bằng một hàm số bậc hai và giá trị tương ứng tại một số thời điểm được cho bởi bảng dưới đây:

a) Xác định hàm số bậc hai biểu thị độ cao h(m) của quả bóng gofl tính theo thời gian t(s).

b) Sau bao lâu kể từ khi vận động viên đánh bóng thì bóng lại chạm đất?

Bài 2. (1 điểm) Cho đường thẳng d₁: 2x – y – 2 = 0; d₂: x + y + 3 = 0 và điểm M(3; 0). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt d₁ và d₂ lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.

Bài 3. (1 điểm) Cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng của (C) qua d. Tìm tọa độ giao điểm của (C), (C').

Đáp án đề thi Giữa học kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 3

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

1. B	2. C	3. C	4. D	5. B	6. C	7. A
8. A	9. D	10. A	11. A	12. D	13. C	14. C
15. D	16. B	17. D	18. B	19. A	20. C	21. B
22. A	23. D	24. A	25. D	26. B	27. A	28. C
29. D	30. A	31. D	32. B	33. C	34. A	35. D

II. Hướng dẫn giải một số câu trắc nghiệm

Câu 3.

Đáp án đúng là: C

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số y = f(x) đi lên từ trái sang phải trên khoảng (0; + ∞). Vậy hàm số này đồng biến trên khoảng (0; + ∞).

Câu 4.

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $\frac{x+2}{x^2-3x+2}$ có nghĩa khi x² – 3x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 và x ≠ 2.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{x+2}{x^2-3x+2}$ là D = ℝ \ {1; 2}.

Câu 5.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $y\left(10\right)=2\sqrt{{10}^2-5.10}=10\sqrt{2}$.

Câu 9.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2.2}=2$.

Vì hệ số a = 2 > 0 nên hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2; + ∞), nghịch biến trên khoảng (– ∞; 2).

Câu 10.

Đáp án đúng là: C

Vì parabol đi qua hai điểm A(1; 1) và B(2; – 2) nên suy ra $\left\{\begin{array}{l}a+c=1\\ 4a+c=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ c=2\end{array}\right.$.

Vậy parabol có phương trình là: y = – x² + 2. 

Câu 18.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{4-3x^2}=2x-1$ ta được

4 – 3x² = 4x² – 4x + 1.

Sau khi thu gọn ta được 7x² – 4x – 3 = 0. Từ đó tìm được x = 1 hoặc $x=-\frac{3}{7}$.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 1.

Câu 19.

Đáp án đúng là: A

Cách 1. Thay lần lượt các giá trị ở từng đáp án vào cho đến khi tìm được giá trị thỏa mãn.

Cách 2. Giải phương trình

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{3x^2-6x+1}=\sqrt{x^2-3}$ ta được

3x² – 6x + 1 = x² – 3.

Rút gọn ta được x² – 3x + 2 = 0. Từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = 2.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.

Câu 24.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=-9-2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=x-5\\ y=-9-2t\end{array}\right.$⇒ y = – 9 – 2 . (x – 5) ⇔ 2x + y – 1 = 0.

Câu 25.  

Đáp án đúng là: D

Bốn phương trình đã cho đều là dạng của phương trình đường thẳng.

Thay lần lượt toa độ của A, B vào từng phương trình ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn phương trình ở đáp án D.

Câu 29.

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến d: 5x – 12y – 6 = 0 là

$d\left(A,d\right)=\frac{\left|5\cdot 1-12\cdot 1-6\right|}{\sqrt{5^2+{\left(-12\right)}^2}}=1$.

Câu 30.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng a có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(\sqrt{3};-1\right)$;

Đường thẳng b có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(1;-\sqrt{3}\right)$.

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

$$\begin{gathered} \cos \left(a,b\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|} \\ =\frac{\left|\sqrt{3}\cdot 1+\left(-1\right)\cdot \left(-\sqrt{3}\right)\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}\cdot \sqrt{1^2+{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$.

Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng 30°.

Câu 34.

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có tâm I(3; 4) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + 4y – 10 = 0 nên bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆.

Ta có: R = d(I, ∆) = $\frac{\left|3\cdot 3+4\cdot 4-10\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3$.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (x – 3)² + (y – 4)² = 9.

Câu 35.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm là I(2; – 2). Tiếp tuyến của (C) tại M(1; 0) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MI}=\left(1;-2\right)$, nên có phương trình

1(x – 1) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 1 = 0.

III. Hướng dẫn giải tự luận

Bài 1. (1 điểm)

a) Xét hàm số bậc hai biểu thị độ cao h phụ thuộc thời gian t có dạng h(t) = at² + bt + c, trong đó a ≠ 0. Theo đề bài:

Với t = 0, h = 0, ta có: c = 0 nên h(t) = at² + bt. Khi đó:

+ Với t = 1, h = 48, ta có: a . 1² + b . 1 = 48 ⇔ a + b = 48.

+ Với t 2, h = 64, ta có: a . 2² + b . 2 = 64 ⇔ 4a + 2b = 64.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}a+b=48\\ 4a+2b=64\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-16\\ b=64\end{array}\right.$. Suy ra h(t) = – 16t² + 64t.

Thay các giá trị tương ứng còn lại của bảng vào công thức trên, ta thấy phù hợp.

Vậy hàm số bậc hai cần tìm là h(t) = – 16t² + 64t.

b) Bóng chạm đất khi h(t) = 0 ⇔ – 16t² + 64t = 0.

Suy ra t = 0 hoặc t = 4.

Vậy sau 4 giây kể từ khi vận động viên đánh bóng thì bóng lại chạm đất.

Bài 2. (1 điểm)

Gọi tọa độ các điểm A, B và M là A(x_A; y_A); B(x_B; y_B) và M(x_M; y_M).

Vì A thuộc d₁ nên 2x_A – y_A – 2 = 0. Suy ra y_A = 2x_A – 2.

Vì B thuộc d₂ nên x_B + y_B + 3 = 0. Suy ra y_B = – x_B – 3.

Do M là trung điểm của đoạn AB nên

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2x_M\\ y_A+y_B=2y_M\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=6\\ \left(2x_A-2\right)+\left(-x_B-3\right)=0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A=\frac{11}{3}\\ y_A=\frac{16}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$.

Suy ra $A\left(\frac{11}{3};\frac{16}{3}\right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A và điểm M.

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{2}{3};-\frac{16}{3}\right)$$\Rightarrow \overrightarrow{u_{AM}}=\left(1;8\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AM}}=\left(8;-1\right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 0) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AM}}$ nên có phương trình là

8(x – 3) – (y – 0) = 0 hay 8x – y – 24 = 0.

Bài 3. (1 điểm)

(C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 2.

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua I, vuông góc với d có dạng x + y + m = 0.

I (1; 2) ∈ ∆, suy ra 1 + 2 + m = 0 ⇒ m = – 3.

Do đó, phương trình đường thẳng ∆: x + y – 3 = 0.

Gọi H là giao điểm của ∆ và d. Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\text{x}+\text{y}-3=0\\ \text{x}-\text{y}-1=0\end{array}\right.$

Từ đó tìm được H(2; 1).

Chứng minh được H là trung điểm của II' với I' là tâm của (C'). Suy ra I'(3; 0)

Vì (C), (C') đối xứng nhau qua d nên R = R'.

Vậy phương trình (C'): (x – 3)² + y² = 4.

Tọa độ giao điểm của (C), (C') là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{\left(\text{x}-1\right)}^2+{\left(\text{y}-2\right)}^2=4\\ {\left(\text{x}-3\right)}^2+y^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(\text{x}-1\right)}^2+{\left(\text{y}-2\right)}^2=4\\ \text{x}-\text{y}-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}{\text{x}}_{\text{1}}=1\Rightarrow {\text{y}}_{\text{1}}=0\\ {\text{x}}_{\text{2}}=3\Rightarrow {\text{y}}_2=2\end{array}\right.\Rightarrow \text{A}\left(1;0\right),\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}B}\left(3;2\right)$ là giao điểm của (C), (C').

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Cho bảng giá trị sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. y là hàm số của x, f(2) = 1;

B. y là hàm số của x, f(2) = 9;

C. x là hàm số của y, f(2) = 9;

D. x là hàm số của y, f(2) = 1.

Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ?

A. y = 1 – 2x;

B. y = 3x + 2;

C. y = x² + 2x – 1;

D. y = – 2(2x – 3).

Câu 3. Hàm số $y=\frac{x+2}{2x+3}+\frac{x-4}{\sqrt{3x+9}}$ có tập xác định là

A. $\left(-\frac{3}{2};+\infty \right)$;          

B. (– 3; +∞);              

C. $\left(-3;+\infty \right)\backslash \left\{-\frac{3}{2}\right\}$;

D. ℝ \ $\left\{-3;-\frac{3}{2}\right\}$.

Câu 4. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau.

A. y = x² + 2x – 1;     

B. y = x² + 2x  – 2;     

C. y = 2x² – 4x – 2;    

D. y = x² – 2x – 1.

Câu 5. Cho parabol (P): y = 3x² – 2x + 1. Điểm nào sau đây là đỉnh của (P)?

A. I(0; 1);                  

B. I$\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$;                

C. I$\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$;                                                  

D. I$\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$.

Câu 6. Một quả bóng cầu thủ sút lên rồi rơi xuống theo quỹ đạo là parabol. Biết rằng ban đầu quả bóng được sút lên từ độ cao 1 m sau đó 1 giây nó đạt độ cao 10 m và 3,5 giây nó ở độ cao 6,25 m. Hỏi độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được là bao nhiêu mét?

A. 11 m;                    

B. 12 m;                    

C. 13 m;                    

D. 14 m.

Câu 7. Tam thức nào sau đây luôn dương với mọi giá trị của x?

A. x² – 10x + 2;

B. x² – 2x – 10;

C. x² – 2x + 10;

D. – x² + 2x + 10.

Câu 8. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và ∆ = b² – 4ac. Cho biết dấu của ∆ khi f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ.

A. ∆ < 0;                                                         

B. ∆ ≥ 0;                   

C. ∆ > 0;                                                         

D. ∆ = 0.

Câu 9. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2x² – 3x – 15 ≤ 0 là

A. 5;                         

B. 6;                          

C. 7;                          

D. 8.

Câu 10. Phương trình $\sqrt{-x^2+75x-200}=\sqrt{x^2-x+10}$ có hai nghiệm là a và b. Khi đó giá trị của biểu thức T = a + b là