I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Cho các câu sau:

(1) Số 7 là số lẻ.

(2) Bài toán này khó quá!

(3) Cuối tuần này bạn có rảnh không?

(4) Số 10 là một số nguyên tố.

Trong các câu trên có bao nhiêu câu là mệnh đề?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Câu 2. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x – 2 > 5” là

A. “∃x ∈ ℝ, x – 2 ≤ 5”;

B. “∃x ∈ ℝ, x – 2 ≥ 5”;

C. “∀x ∈ ℝ, x – 2 ≤ 5”;

D. “∀x ∈ ℝ, x – 2 ≥ 5”.

Câu 3. Liệt kê các phần tử của tập hợp A = {n ∈ ℕ| 3 < n < 8} ta được

A. A = {4; 5; 6; 7; 8};

B. A = {3; 4; 5; 6; 7; 8};

C. A = {3; 4; 5; 6; 7};

D. A = {4; 5; 6; 7}.

Câu 4. Xác định tập hợp B = {3; 6; 9; 12; 15} bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

A. B = {3n | n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 5};

B. B = {n | n ⁝ 3};

C. B = {3n | n ∈ ℕ, 1 < n < 5};

D. B = {n | n ∈ ℕ, 0 ≤ n ≤ 5}.

Câu 5. Cho hai tập hợp A = (– ∞; – 2] và B = (– 3; 5]. Tìm mệnh đề sai.

A. A ∩ B = (– 3; – 2];

B. A \ B = (– ∞; – 3);

C. A ∪ B = (– ∞; 5];

D. B \ A = (– 2; 5].

Câu 6. Cho hai tập hợp H = {n ∈ ℕ | n là bội của 2 và 3}, K = {n ∈ ℕ | n là bội của 6}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. K ⊂ H;

B. H ⊂ K;

C. ∃n: n ∈ H và n ∉ K;

D. H = K.

Câu 7. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?

A. 12 là số nguyên tố;

B. 9 là số nguyên tố;

C. 4 là số nguyên tố;

D. 5 là số nguyên tố.

Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo sai?

A. Tam giác ABC cân thì tam giác đó có 2 cạnh bằng nhau;

B. Số tự nhiên a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 2 và 3;

C. Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB song song với CD;

D. Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=90°$.

Câu 9. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. 4x² + 3y > 4;

B. xy + 2x < 6;

C. 3²x + 2³y ≥ 3;

D. x + y³ < 2.

Câu 10. Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10?

A. (5; 1);

B. (4; 2);

C. (1; 5);

D. (1; 2).

Câu 11. Tam giác ABC có $\widehat{A}=35°,\widehat{B}=25°$. Giá trị của cosC bằng

A. $-\frac{1}{2}$;

B. – 2;

C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

D. $\frac{1}{2}$. 

Câu 12. Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.

A. EF² = EG² + FG² + 2EG . FG . cosG;

B. EF² = EG² + FG² + 2EG . FG . cosE;

C. EF² = EG² + FG² – 2EG . FG . cosE;

D. EF² = EG² + FG² – 2EG . FG . cosG.

Câu 13. Tam giác ABC có BC = 6, AC = 7, AB = 8. Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là

A. $\frac{\sqrt{2}}{15}$;

B. $\frac{\sqrt{15}}{2}$;

C. $\frac{8}{\sqrt{15}}$;

D. $\frac{\sqrt{8}}{15}$.

Câu 14. Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, $\cos A=\frac{3}{5}$. Độ dài đường cao h_a của tam giác ABC là

A. $\frac{\text{7}\sqrt{2}}{2}$;                                

B. 8;                                       

C. $\text{8}\sqrt{3}$;                                  

D. $\text{80}\sqrt{3}$.

Câu 15. Với giá trị nào của x sau đây, mệnh đề chứa biến P(x): “x² – 5x + 4 = 0” là mệnh đề đúng?

A. 0;

B. 1;

C. 5;

D. $\frac{4}{5}$.

Câu 16. Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. x − y > 0;         

B. $\left\{\begin{array}{c}{x}^2-4\ge 0\\ 3x+4y<2\end{array}\right.$;   

C. $\left\{\begin{array}{c}{y}^2+2y-3>0\\ 5x-y>2\end{array}\right.$;                  

D. $\left\{\begin{array}{c}x-4\ge y\\ 3x+4y<2\end{array}\right.$.   

Câu 17. Giá trị của biểu thức S = 2 + sin² 90° + 2cos² 60° − 3tan² 45° bằng:

A. $\frac{1}{2}$;

B. $-\frac{1}{2}$;

C. 1;

D. 3.

Câu 18. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, có R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và h_c là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh C. Chọn mệnh đề sai.

A. S_ABC = absinC;

B. S_ABC = $\frac{1}{2}c.h_c$;

C. S_ABC = pr;

D. S_ABC = $\frac{abc}{4R}$.

Câu 19. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}7x-5y+2\ge 0\\ y-2x-5<0\end{array}\right.$. Trong các điểm sau đây, điểm không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình là

A. O(0; 0);            

B. A(2; 3);            

C. B(5; 4);            

D. C(−2; −2) .

Câu 20. Tam giác ABC có $\widehat{B}$= 60°, $\widehat{C}$= 45° và AB = 7. Tính độ dài cạnh AC.

A. AC = $\frac{5\sqrt{6}}{2}$;

B. AC = $\frac{7\sqrt{6}}{2}$;

C. AC = $7\sqrt{2}$;

D. AC = 10.

Câu 21. Cho mệnh đề: “Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1”. Phát biểu mệnh đề trên bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.

A. a + b < 2 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b nhỏ hơn 1;

B. Một trong hai số a và b nhỏ hơn 1 là điều kiện đủ để a + b < 2;

C. Từ a + b < 2 suy ra một trong hai số a và b nhỏ hơn 1;

D. Tất cả các câu trên đều đúng.

Câu 22. Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?

A. (0; 1);

B. (1; + ∞);

C. [1; + ∞);

D. (0; 1].

Câu 23. Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A. sin α = sin β;

B. cos α = – cos β;

C. tan α = – tan β;

D. cot α = cot β.

Câu 24. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 4; 6} và B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Xác định tập C_BA.

A. C_BA = {1; 2; 4; 6};

B. C_BA = {4; 6};

C. C_BA = {3; 5; 7; 8};

D. C_BA = {2; 6; 7; 8}.

Câu 25. Miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau (kể cả bờ)?

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Câu 26. Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = $2\sqrt{7}$. Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM.

A. AM = $4\sqrt{2}$;

B. AM = 3;

C. AM = $2\sqrt{3}$;

D. AM = $3\sqrt{2}$.

Câu 27. Cho góc α (0° < α < 180°) thỏa mãn sin α + cos α = 1. Giá trị của tan α là

A. 0;

B. 1;

C. – 1;

D. Không tồn tại.

Câu 28. Miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ bên (kể cả đường thẳng d)?

A. 2x − y ≤ 2;

B. 2x − 3y ≤ 0;                

C. 2x + y < 2;                 

D. 2x − y > 2.

Câu 29. Cho góc α (0° < α < 180°) thỏa mãn tan α = $\frac{1}{3}$.

Giá trị của biểu thức P = $\frac{\sin \alpha +3\cos \alpha }{2\sin \alpha -5\cos \alpha }$ là

A. $\frac{13}{10}$;

B. $-\frac{13}{10}$;

C. $-\frac{10}{13}$;

D. $\frac{10}{13}$.

Câu 30. Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy bơm A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 1 triệu đồng và 2 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 100 triệu đồng. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hằng tháng sẽ không vượt quá 50 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy bơm loại A là x và số máy bơm loại B là y. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị các điều kiện của bài toán và một nghiệm của hệ này là

A. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 50\\ x+2y\le 100\end{array}\right.$ và (10; 20) là một nghiệm của hệ;

B. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 50\\ x+2y\le 100\end{array}\right.$ và (50; 20) là một nghiệm của hệ;

C. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y<50\\ x+2y\le 100\end{array}\right.$ và (10; 20) là một nghiệm của hệ;

D. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y<50\\ x+2y<100\end{array}\right.$ và (50; 20) là một nghiệm của hệ;

Câu 31. Một ca nô xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông với vận tốc 50 km/h. Cùng lúc đó, một tàu cá, xuất phát từ A, chạy theo hướng N30°E với vận tốc 40 km/h. Sau 3 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?

A. 135,7 km;

B. 110 km;

C. 137,5 km;

D. 237,5 km.

Câu 32. Cho bất phương trình 2x − 3y < 12 (với x, y Î ℝ). Điều nào sau đây là sai ?

A. Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

B. Cặp số (5; 3) là nghiệm của bất phương trình;              

C. Cặp số (9; 2) là nghiệm của bất phương trình;              

D. Cặp số (9; 3) là nghiệm của bất phương trình.

Câu 33. Cho sin 15° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Khi đó sin 75° = x, cos 105° = y. Giá trị của biểu thức P = x + y là

A. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$;

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

C. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}$;

D. $2\sqrt{2}$.

Câu 34. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$ là

A. Một nửa mặt phẳng;

B. Miền tam giác;

C. Miền tứ giác;

D. Miền ngũ giác.

Câu 35. Một công ty nhập về 1 tấn gỗ để sản xuất bàn và ghế. Biết một cái bàn cần 30 kg gỗ và một cái ghế cần 15 kg gỗ. Gọi x và y lần lượt là số bàn và số ghế mà công ty sản xuất. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho lượng bàn ghế mà công ty sản xuất không vượt quá 1 tấn gỗ ?

A. 30x + 50y < 1 000;              

B. 30x + 50y ≤ 1 000;               

C. 30x + 50y > 1 000;               

D. 30x + 50y ≥ 1 000.

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1. Cho hai tập hợp sau:

A = {x ∈ ℝ | |x| ≤ 3} và B = {x ∈ ℝ | – 2 < x ≤ 5}.

a) Viết hai tập hợp trên dưới dạng khoảng, đoạn.

b) Xác định các tập hợp sau: A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A.

Câu 2. Hai chiếc tàu thủy M và N cách nhau 500 m. Từ M và N thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển, người ta thấy chiều cao AB của tháp dưới một góc $\widehat{AMB}=30°$; $\widehat{ANB}=45°$.

Tính chiều cao AB của tháp.

Câu 3. Xác định dạng của tam giác ABC biết S = p(p – a) với BC = a, AC = b, AB = c, S là diện tích tam giác ABC và p là nửa chu vi tam giác.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

II. Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Câu 1.

Đáp án đúng là: B

Câu (1) là một mệnh đề vì đây là một khẳng định đúng.

Câu (2), câu (3) không là mệnh đề vì đây là các câu cảm thán và câu hỏi, không xác định tính đúng sai.

Câu (4) là một mệnh đề vì đây là một khẳng định sai.

Vậy trong các câu đã cho có 2 câu là mệnh đề.

Câu 2.

Đáp án đúng là: A

Phủ định của ∀ là ∃;

Phủ định của > là ≤.

Do đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x – 2 > 5” là mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x – 2 ≤ 5”.

Câu 3.

Đáp án đúng là: D

Ta có: A = {n ∈ ℕ| 3 < n < 8}.

Khi đó tập hợp A gồm các phần tử là các số tự nhiên lớn hơn 3 và nhỏ hơn 8, đó là các số: 4, 5, 6, 7.

Vậy ta viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử ta được:

A = {4; 5; 6; 7}.

Câu 4.

Đáp án đúng là: A

Tập hợp B gồm các phần tử, 3, 6, 9, 12, 15, đây đều là các số tự nhiên chia hết cho 3, ta viết các số này dưới dạng 3n, n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 5.

Vậy ta viết tập hợp B dưới dạng nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp ta được:

B = {n | n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 5}.

Câu 5.

Đáp án đúng là: B

Biểu diễn các tập hợp A và B như sau:

Khi đó ta xác định được:

A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B} = (– 3; – 2];

A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B} = (– ∞; – 3];

A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B} = (– ∞; 5];

B \ A = {x | x ∈ B và x ∉ A} = (– 2; 5].

Vậy mệnh đề sai là mệnh đề ở đáp án B.

Câu 6.

Đáp án đúng là: C

Ta có: H = {n ∈ ℕ | n là bội của 2 và 3} nên H là tập hợp bội chung (là số tự nhiên) của 2 và 3, do đó mọi phần tử của H đều chia hết cho BCNN(2, 3), mà BCNN(2, 3) = 6. Vậy mọi phần tử của tập H đều chia hết cho 6.

Lại có: K = {n ∈ ℕ | n là bội của 6} nên K là tập hợp các bội (là số tự nhiên) của 6 hay mọi phần tử của tập K đều chia hết cho 6.

Do vậy, H = K.

Khi đó các mệnh đề H = K, K ⊂ H, H ⊂ K đều đúng.

Vậy mệnh đề ở đáp án C là mệnh đề sai.

Câu 7.

Đáp án đúng là: D

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Trong các số 12, 9, 4, 5, chỉ có số 5 là số nguyên tố.

Vậy mệnh đề “5 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

Câu 8.

Đáp án đúng là: C

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “tam giác ABC cân thì tam giác đó có 2 cạnh bằng nhau” là mệnh đề “tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó cân”. Đây là mệnh đề đúng.

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “số tự nhiên a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 2 và 3” là mệnh đề “số tự nhiên a chia hết cho 2 và 3 thì số tự nhiên a chia hết cho 6”. Đây là mệnh đề đúng vì BCNN(2, 3) = 6.

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB song song với CD” là mệnh đề “nếu tứ giác ABCD có AB song song với CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành”. Đây là mệnh đề sai vì nếu tứ giác ABCD có AB // CD thì tứ giác ABCD mới là hình thang, cần thêm điều kiện AB = CD nữa thì tứ giác ABCD mới là hình bình hành.

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=90°$” là mệnh đề “nếu tứ giác ABCD có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=90°$ thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”. Đây là mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Vậy trong các mệnh đề đã cho, mệnh đề ở đáp án C có mệnh đề đảo sai.

Câu 9.

Đáp án đúng là: C

+) Bất phương trình ở đáp án A không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn x có bậc là 2.

+) Bất phương trình ở đáp án B không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa tích xy.

+) Bất phương trình ở đáp án C là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì 3²x + 2³y = 9x + 8y, khi đó bất phương trình đã cho trở thành 9x + 8y ≥ 3, có dạng ax + by ≥ c nên đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 

+) Bất phương trình ở đáp án D không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn y có bậc là 3.

Câu 10.

Đáp án đúng là: D

+) Thay x = 5, y = 1 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 5 + 2 . 1 = 17 > 10.

Do đó, điểm (5; 1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

+) Thay x = 4, y = 2 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 4 + 2 . 2 = 16 > 10.

Do đó, điểm (4; 2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

+) Thay x = 1, y = 5 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 1 + 2 . 5 = 13 > 10.

Do đó, điểm (1; 5) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

+) Thay x = 1, y = 2 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 1 + 2 . 2 = 7 < 10.

Do đó, điểm (1; 2) thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

Câu 11.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ABC, ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$.

Suy ra

$\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}=180°-35°-25°=120°$.

Áp dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt ta có:

cosC = cos120° = $-\frac{1}{2}$.

Câu 12.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí côsin trong tam giác EFG, ta có:

EF² = EG² + FG² – 2EG . FG . cosG.

Câu 13.

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi tam giác ABC là:

p = (BC + AC + AB) : 2 = (6 + 7 + 8) : 2 = $\frac{21}{2}$.

Diện tích của tam giác ABC là:

S = $\sqrt{p\left(p-BC\right)\left(p-AC\right)\left(p-AB\right)}$     (công thức Hê-rông)

$=\sqrt{\frac{21}{2}.\left(\frac{21}{2}-6\right).\left(\frac{21}{2}-7\right).\left(\frac{21}{2}-8\right)}$

$=\frac{21\sqrt{15}}{4}$.

Lại có, S = pr với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Do đó, r = $\frac{S}{p}$ $=\frac{\frac{21\sqrt{15}}{4}}{\frac{21}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$.

Câu 14.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=7^2+5^2-\mathrm{2.7.5.}\frac{3}{5}=32$

$\Rightarrow a=4\sqrt{2}.$ 

Mặt khác: ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

$\Rightarrow \sin A=\frac{4}{5}$ (Vì sin A > 0).

Mà: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}b.c.\sin A=\frac{1}{2}a.h_a$

$\Rightarrow h_a=\frac{bc\sin A}{a}=\frac{\mathrm{7.5.}\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Câu 15.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

P(0) = 0² – 5 . 0 + 4 = 4;

P(1) = 1² – 5 . 1 + 4 = 0;

P(5) = 5² – 5 . 5 + 4 = 4;

P$\left(\frac{4}{5}\right)$ = ${\left(\frac{4}{5}\right)}^2-5.\frac{4}{5}+4=\frac{16}{25}$.

Vậy với x = 1 thì mệnh đề chứa biến P(x): “x² – 5x + 4 = 0” là mệnh đề đúng.

Câu 16.

Đáp án đúng là: D

Ta thấy hệ $\left\{\begin{array}{c}x-4\ge y\\ 3x+4y<2\end{array}\right.$ có hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho nên đáp án D thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 17.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có:

S = 2 + sin² 90° + 2cos² 60° − 3tan² 45°

= 2 + (sin 90°)² + 2(cos 60°)² – 3(tan 45°)²

= 2 + 1² + 2.${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$− 3.1² = $\frac{1}{2}$.

Câu 18.

Đáp án đúng là: A

Các công thức tính diện tích tam giác ABC:

S_ABC = $\frac{1}{2}c.h_c=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr$.

Do đó, đáp án A sai.

Câu 19.

Đáp án đúng là: D

+ Lần lượt thay các cặp số (0; 0), (2; 3), (5; 4) vào các bất phương trình của hệ đã cho, ta thấy đều thỏa mãn, do đó (0; 0), (2; 3), (5; 4) là các nghiệm của hệ đã cho.

Vậy các điểm O, A, B thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}7x-5y+2\ge 0\\ y-2x-5<0\end{array}\right..$

+ Thay cặp số (−2 ; −2) vào bất phương trình thứ nhất của hệ ta được:

7 . (−2) − 5 . (−2) + 2 ≥ 0 là mệnh đề sai (do 7 . (−2) − 5 . (−2) + 2 = – 2 < 0).

Do đó (−2 ; −2) không là nghiệm của bất phương trình thứ nhất của hệ nên nó không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Vậy điểm C(−2 ; −2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Câu 20.

Đáp án đúng là: B

Theo định lý sin trong tam giác ABC, ta có:

Câu 21.

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề P ⇒ Q đúng thì ta nói P là điều kiện đủ để có Q.

Do đó, ta phát biểu mệnh đề “nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1” bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ” như sau: “a + b < 2 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b nhỏ hơn 1”.

Câu 22.

Đáp án đúng là: C

Quan sát hình vẽ ta thấy phần không bị gạch là phần phía bên phải của điểm 1 trên trục số, bao gồm cả điểm 1 (do có dấu “[”), do đó phần không bị gạch biểu diễn các số thực x sao cho x ≥ 1, do đó phần không bị gạch trên hình vẽ minh họa cho tập hợp [1; + ∞).

Câu 23.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng mối liên hệ hai góc bù nhau, ta có:

sin α = sin β; cos α = – cos β; tan α = – tan β; cot α = – cot β.

Vậy đáp án A, B, C đúng và đáp án D sai.

Câu 24.

Đáp án đúng là: C

Ta có: C­_BA = B \ A = {x| x ∈ B, x ∉ A} = {3; 5; 7; 8}.

Các phần tử thuộc tập B nhưng không thuộc tập A là: 3; 5; 7; 8.

Vậy C­_BA = {3; 5; 7; 8}.

Câu 25.

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 như sau:

+) Vẽ đường thẳng x + y = 2 đi qua 2 điểm (2; 0) và (0; 2) trên mặt phẳng tọa độ.

+) Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng x + y = 2.

+) Ta có: 0 + 0 = 0 < 2.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x + y = 2 chứa điểm O (là phần tô đậm ở đáp án A).

Câu 26.

Đáp án đúng là: C

Theo hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

cosB =$\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{4^2+6^2-{\left(2\sqrt{7}\right)}^2}{2.4.6}=\frac{1}{2}$.

Do MC = 2MB Þ MB = $\frac{1}{3}$BC = $\frac{1}{3}$ . 6 = 2.

Theo định lí côsin trong tam giác AMB, ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AB.BM.cosB = 4² + 2² – 2.4.2.$\frac{1}{2}$= 12

Þ AM = $2\sqrt{3}$.

Câu 27.

Đáp án đúng là: D

Ta có: sin α + cos α = 1

⇒ (sin α + cos α)² = 1²

⇔ sin² α + 2 sin α . cos α + cos² α = 1

Mà sin² α + cos² α = 1. Do đó, sin α . cos α = 0.

Từ đó suy ra sin α = 0 hoặc cos α = 0.

Lại có 0° < α < 180°, do đó sin α ≠ 0.

Vậy cos α = 0. Khi đó không tồn tại tan α.

Câu 28.

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình đường thẳng d có dạng: y = ax + b.

Đường thẳng d đi qua điểm (1; 0) và (0; −2) nên ta có hệ phương trình:

Vậy d: y = 2x − 2  hay d: 2x  − y − 2 = 0.

Thay tọa độ điểm (0 ; 1) thuộc miền nghiệm (miền không bị gạch) vào biểu thức 2x – y – 2 ta được: 2 . 0 − 1 − 2 = −3 < 0.

Vậy miền nghiệm được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình 2x − y − 2 ≤ 0 hay 2x − y  ≤ 2.

Câu 29.

Đáp án đúng là: C

Vì 0° < α < 180° và tan α = $\frac{1}{3}$ nên cos α ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu của P cho cos α, ta được:

P = $\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+3\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}{2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-5\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}$ = $\frac{\tan \alpha +3}{2\tan \alpha -5}=\frac{\frac{1}{3}+3}{2.\frac{1}{3}-5}=-\frac{10}{13}$.

Câu 30.

Đáp án đúng là: A

Trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy bơm loại A là x và số máy bơm loại B là y, do đó x ≥ 0, y ≥ 0.

Do tổng nhu cầu hằng tháng sẽ không vượt quá 50 máy nên x + y ≤ 50.

Giá mỗi chiếc máy bơm A là 1 triệu đồng nên giá x chiếc máy bơm A là x triệu đồng, giá mỗi chiếc máy bơm B là 2 triệu đồng nên giá y chiếc máy bơm B là 2y triệu đồng. Mà số vốn ban đầu không vượt quá 100 triệu đồng nên x + 2y ≤ 100.

Vậy ta có hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 50\\ x+2y\le 100\end{array}\right.$.

+) Với x = 10 > 0, y = 20 > 0 thì x + y = 10 + 20 = 30 < 50 và x + 2y = 10 + 2. 20 = 50 < 100, do đó cặp số (10; 20) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

+) Với x = 50, y = 20 thì x + y = 50 + 20 = 70 > 50, do đó cặp số (50; 20) không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Vậy ta chọn đáp án A. 

Câu 31.

Đáp án đúng là: C

Hướng N30°E là hướng tạo với hướng bắc một góc 30° và tạo với hướng đông một góc 90° – 30° = 60°. Khi đó, ta có hình vẽ sau:

Với A là vị trí cảng, ca nô đi theo hướng đông từ A đến B, sau 3 giờ ca nô đi được quãng đường là AB = 50 . 3 = 150 (km).

Tàu cá chạy theo hướng N30°E từ A đến C, sau 3 giờ tàu cá đi được quãng đường là AC = 40 . 3 = 120 (km).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB . AC . cos60°

= 150² + 120² – 2 . 150 . 120 . $\frac{1}{2}$ = 18 900

Suy ra BC = $30\sqrt{21}\approx 137,5$ (km).

Vậy sau 3 giờ hai tàu cách nhau khoảng 137,5 km.

Câu 32.

Đáp án đúng là: C

+ Bất phương trình 2x – 3y < 12 có dạng ax + by < c nên đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, đáp án A đúng.

+ Thay cặp số (5; 3) vào bất phương trình 2x − 3y < 12 ta được:

2 . 5 − 3 . 3 < 12 ⇔ 1 < 12 (luôn đúng)

Vậy cặp số (5; 3) là nghiệm của bất phương trình.

Do đó, đáp án B đúng.

+ Thay cặp số (9; 2) vào bất phương trình 2x − 3y < 12 ta được:

2 . 9 − 3 . 2 < 12 ⇔ 12 < 12 (vô lí)

Vậy cặp số (9; 2) không là nghiệm của bất phương trình.

Do đó, đáp án C là sai.

+ Thay cặp (9; 3) vào bất phương trình 2x − 3y < 12 ta được:

2 . 9 − 3 . 3 < 12 ⇔ 9 < 12 (luôn đúng)

Vậy cặp số (9; 3) là nghiệm của bất phương trình.

Do đó, đáp án D đúng.

Câu 33.

Đáp án đúng là: B

Cách 1:

Ta có: sin 15° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, suy ra cos 15° = $\sqrt{1-{\sin }^{2}15°}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Khi đó, x = sin 75° = sin (90° – 15°) = cos 15° = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Và y = cos 105° = cos (180° – 75°) = – cos 75° = – cos (90° – 15°) = – sin 15°

= $-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

Vậy P = x + y = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Cách 2: Sử dụng MTCT.

Câu 34.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$.

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta làm như sau:

+) Xác định miền nghiệm của bất phương trình y – 2x ≤ 2.

- Vẽ đường thẳng d₁: y − 2x = 2 trên mặt phẳng tọa độ.

- Tọa độ của điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 – 2 . 0 = 0 < 2 nên miền nghiệm của bất phương trình y – 2x ≤ 2 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa gốc tọa độ.

+) Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2y – x ≥ 4.

- Vẽ đường thẳng d₂: 2y − x = 4 trên mặt phẳng tọa độ.

- Tọa độ của điểm O(0; 0) thỏa mãn 2 . 0 – 0 = 0 < 4 nên miền nghiệm của bất phương trình 2y – x ≥ 4 là nửa mặt phẳng bờ d₂ không chứa gốc tọa độ.

+) Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5.

- Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5 trên mặt phẳng tọa độ.

- Tọa độ của điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 + 0 = 0 < 5 nên miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa gốc tọa độ.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC (kể cả biên) như hình vẽ trên.

Câu 35.

Đáp án đúng là: B

Đổi 1 tấn = 1 000 kg

Số gỗ để sản xuất x bàn là 30x (kg).

Số gỗ để sản xuất y ghế là 15y (kg)

Số gỗ để sản xuất x bàn và y ghế là 30x + 15y (kg)

Vì lượng bàn ghế mà công ty sản xuất không được vượt quá 1 tấn gỗ nên

30x + 15y ≤ 1 000.

III. Hướng dẫn giải chi tiết tự luận

Câu 1.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: |x| ≤ 3 ⇔ – 3 ≤ x ≤ 3.

Do đó, A = {x ∈ ℝ | |x| ≤ 3} = {x ∈ ℝ | – 3 ≤ x ≤ 3} = [– 3; 3].

B = {x ∈ ℝ | – 2 < x ≤ 5} = (– 2; 5].

b) A ∪ B = [– 3; 3] ∪ (– 2; 5] = [– 3; 5]

 A ∩ B = [– 3; 3] ∩ (– 2; 5] = (– 2; 3]

A \ B = [– 3; 3] \ (– 2; 5] = [– 3; – 2]

B \ A = (– 2; 5] \ [– 3; 3] = (3; 5].

Câu 2.

Hướng dẫn giải

 Ta có:

$\widehat{MNB}=180°-\widehat{BNA}=180°-45°=135°$

$\Rightarrow \widehat{MBN}=180°-\widehat{BNM}-\widehat{BMN}=180°-135°-30°=15°$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác BMN ta có:

$\frac{MN}{\sin \widehat{MBN}}=\frac{BN}{\sin \widehat{BMN}}$

$\Rightarrow BN=\sin \widehat{BMN}.\frac{MN}{\sin \widehat{MBN}}$ $=\sin 30°.\frac{500}{\sin 15°}$ ≈ 965,93 (m)

Xét tam giác BNA vuông tại A có: 

AB = BN. sin $\widehat{BNA}$ ≈ 965,93 . sin 45° ≈ 683 (m).

Vậy tháp AB cao khoảng 683 m.

Câu 3.

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi tam giác p = $\frac{1}{2}$(a + b + c).

Ta có: $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ (công thức Hê-rông).

Lại có: S = p(p – a)          (giả thiết)

Suy ra: p(p – a) = $\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

$\iff \sqrt{p\left(p-a\right)}=\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$      (do p(p – a) > 0)

$\iff p^2-pa=p^2-pb-pc+bc$

$\iff p\left(b+c-a\right)-bc=0$

$\iff \frac{1}{2}\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)-bc=0$

$\iff \frac{1}{2}\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]-bc=0$

$\iff \frac{1}{2}\left(b^2+2bc+c^2-a^2\right)-bc=0$

$\iff \frac{1}{2}{b}^2+\frac{1}{2}{c}^2-\frac{1}{2}{a}^2+\frac{1}{2}.2bc-bc=0$

$\iff \frac{1}{2}\left(b^2+c^2-a^2\right)=0$

$\iff a^2=b^2+c^2$.

Do đó tam giác ABC vuông tại A (theo định lí Pythagore đảo).

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Giữa học kì 1

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề thi Giữa Học kì 1 Toán lớp 10 Kết nối tri thức có đáp án - (Đề số 4)