Cho các số thực $a, b, c$ khác 0 thỏa mãn dãy tỉ số:
Tính giá trị của biểu thức: $P = (1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a})$.
Câu 2 (Số học - 3 điểm):
Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn phương trình:
Câu 3 (Hình học - 4 điểm):
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 60^{\circ}$. Tia phân giác của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$, tia phân giác của góc $C$ cắt $AB$ tại $E$. $BD$ cắt $CE$ tại $I$.
a. Tính số đo góc $BIC$.
b. Chứng minh rằng $ID = IE$.
c. Cho $AB < AC$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $F$ sao cho $AF = AB$. Chứng minh rằng tam giác $BDF$ là tam giác cân.
Gợi ý hướng giải (Đừng xem nếu em muốn tự giải trước nhé!)
Câu 1:
Trường hợp 1: Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số (hoặc dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau bằng cách cộng các tử và các mẫu lại). Lưu ý điều kiện $a+b+c \neq 0$.
Trường hợp 2: Xét $a+b+c = 0$, khi đó $a+b = -c$. Thay vào biểu thức $P$.
Câu 2:
Nhận xét vế phải: $|A| + A$.
Nếu $A < 0 \Rightarrow |A| + A = 0$.
Nếu $A \geq 0 \Rightarrow |A| + A = 2A$.
Từ đó biện luận giá trị của $x$ để vế trái là số chẵn hay lẻ.
Câu 3:
Câu a: Sử dụng tổng các góc trong tam giác $ABC$ để tìm $\frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2}$. Sau đó xét tam giác $BIC$.
Câu b: Vẽ đường phân giác của góc $BIC$. Chứng minh các cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp (G-C-G).