Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn: $a^2\overrightarrow{GA}+b^2\overrightarrow{GB}+c^2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$  là tam giác gì ?

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết $\overrightarrow{PM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BM};\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}$ . tứ giác ABCD là hình gì?

A. hình bình hành  

Trên hai tia Ox và Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho $OM+ON=a$  với a là số thực cho trước. tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thằng MN

b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức $\left|\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$

Cho tứ giác ABCD

a)Xác định điểm O sao cho : $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$

Cho DABC. Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:

$a)\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|$

b) $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$  cùng phương với véc tơ $\overrightarrow{BC}$

Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}$  với k là số thực thay đổi

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

B. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{3}$  với I là trung điểm của AB                                       

C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{4}$  với I là trung điểm của AB                       

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DN}=k\overrightarrow{DC}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right)$  với k là số thực thay đổi

Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$

Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn :  $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Cho các tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Gọi $A_1,B_1,C_1$  lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm $A_2,B_2,C_2$  lần lượt thuộc các tia $O{A}_1,O{B}_1,O{C}_1$  sao cho $O{A}_2=a,O{B}_2=b,O{C}_2=c$ . Chứng minh O là trọng tâm tam giác $A_2{B}_2{C}_2$

Cho các tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Gọi $A_1,B_1,C_1$  lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm $A_2,B_2,C_2$  lần lượt thuộc các tia $O{A}_1,O{B}_1,O{C}_1$  sao cho $O{A}_2=a,O{B}_2=b,O{C}_2=c$ . Chứng minh O là trọng tâm tam giác $A_2{B}_2{C}_2$

Cho tam giác ABC đều và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $A_1,B_1,C_1$  lần lượt là điểm đối xứng M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng tam giác ABC và $A_1,B_1,C_1$  có cùng trọng tâm.

Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G. Gọi $G_1,G_2,G_3,G_4$  lần lượt là trọng tâm các tam giác $\Delta ABC,\Delta BCD,\Delta CDA,\Delta DAB$ . Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tứ giác $G_1{G}_2{G}_3{G}_4$

Cho $\Delta ABC$  và $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  có cùng trọng tâm G, gọi $G_1,G_2,G_3$  là trọng tâm các tam giác$BCA\text{'},CAB\text{'},ABC\text{'}$ .Chứng minh rằng $\Delta G_1{G}_2{G}_3$  cũng có trọng tâm G

Cho tam giác ABC. Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi $2011\overrightarrow{A\text{'}B}+2012\overrightarrow{A\text{'}C}=\overrightarrow{0}$ , $2011\overrightarrow{B\text{'}C}+2012\overrightarrow{B\text{'}A}=\overrightarrow{0}$ , $2011\overrightarrow{C\text{'}A}+2012\overrightarrow{C\text{'}B}=\overrightarrow{0}$

Chứng minh rằng $\Delta ABC$ và $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  cùng trọng tâm

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC  có A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC, vẽ các hình bình hành $ABIJ,BCPQ,CARS$ . Chứng minh rằng $\Delta RIP,\Delta JQS$  có cùng trọng tâm.

Cho các tam giác $ABC,A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  có G, G’ lần lượt là trọng tâm . Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$ . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm .

Cho hàm số bậc nhất $y=mx-m+1$  (  m là tham số), có đồ thị là đường thẳng d . Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến d  là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)x+3m-5$  , m là tham số. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của $f\left(x\right)$  đạt giá trị lớn nhất.

Cho 2 số thực $x\ge 1,y\ge 0$  thỏa mãn điều kiện $\max \left\{\left|x^2+1\right|;\left|2x-y+1\right|\right\}=\frac{{\left(x+y\right)}^2}{x^2+y^2}$ .

Hỏi biểu thức $P=3\left(x+1\right)\left(x^2+2y+1\right)$  có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương?

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CA}$ . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$   khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  không cùng phương. Tìm x sao cho

a) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\left(2x-1\right)\overrightarrow{b}$  và $\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$  cùng phương

b) Hãy phân tích  $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AI}$  và $\overrightarrow{AJ}$ .

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI=3BI  và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB=2JC.

a) Hãy phân tích $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}$  theo $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$ .                  

A.  $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}.$  

b)Đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Cho tam giác ABC.Gọi I, J là hai điểm xác định bởi $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB},3\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$

a)Tính $\overrightarrow{IJ}$  theo $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$ .