a) Ta có:

- $\angle AIB = \angle AEC$ vì chúng là góc vuông.

- $\angle ABI = \angle ABE$ vì chúng là góc vuông.

- $\angle BAI = \angle EAC$ vì chúng là góc vuông.

Do đó, theo góc, ta có $\triangle AIB \sim \triangle AEC$.

Từ đó, ta có tỉ lệ đồng dạng:

$\frac{AB}{AI} = \frac{AE}{AC}$

$AB \cdot AC = AI \cdot AE$

b) Ta có:

- $\angle CBI = \angle ACF$ vì chúng là góc vuông.

- $\angle ICB = \angle FCA$ vì chúng là góc vuông.

- $\angle BCI = \angle CAF$ vì chúng là góc vuông.

Do đó, theo góc, ta có $\triangle CBI \sim \triangle ACF$.

Từ đó, ta có tỉ lệ đồng dạng:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AF}{CB}$

$AB \cdot AC + AF \cdot CB = AC^2$

c) Ta có:

- $\angle CEF = \angle BCA$ vì chúng là góc vuông.

Để tính giá trị của biểu thức $C = \frac{2 - x_1}{x_2} + \frac{2 - x_2}{x_1}$ mà không cần giải phương trình $-x^2 + 4x + 3 = 0$, ta có thể sử dụng định lý Vi-ét. Theo định lý Vi-ét, nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, thì:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Với phương trình $-x^2 + 4x + 3 = 0$, ta có:

- $a = -1$

- $b = 4$

- $c = 3$

Từ đó, theo định lý Vi-ét, ta có:

$x_1 + x_2 = -\frac{4}{-1} = 4$

$x_1 x_2 = \frac{3}{-1} = -3$

### Tính giá trị của biểu thức $C$

$C = \frac{2 - x_1}{x_2} + \frac{2 - x_2}{x_1}$

Chúng ta sẽ biến đổi biểu thức này sử dụng các thông tin từ định lý Vi-ét.

$C = \frac{2 - x_1}{x_2} + \frac{2 - x_2}{x_1}$

$= \frac{2}{x_2} - \frac{x_1}{x_2} + \frac{2}{x_1} - \frac{x_2}{x_1}$

$= \frac{2}{x_2} + \frac{2}{x_1} - \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1}$

$= 2 \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \right) - \left( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \right)$

Biến đổi thêm:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

$= \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$

Và:

$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Ta biết rằng:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 x_2$

$16 = x_1^2 + x_2^2 + 2(-3)$

$16 = x_1^2 + x_2^2 - 6$

$x_1^2 + x_2^2 = 22$

Do đó:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{22}{-3} = -\frac{22}{3}$

Từ đó, thay vào biểu thức $C$:

$C = 2 \left( -\frac{4}{3} \right) - \left( -\frac{22}{3} \right)$

$= -\frac{8}{3} + \frac{22}{3}$

$= \frac{22 - 8}{3}$

$= \frac{14}{3}$

Vậy giá trị của biểu thức $C$ là:

$\boxed{\frac{14}{3}}$

Để tìm khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ trong hình chóp $SABC$, ta cần hiểu rằng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, điều này có nghĩa là $SA$ là đường cao của hình chóp từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng $(ABC)$.

### Các thông tin đã biết:

- $\triangle ABC$ vuông tại $B$

- $AB = a$

- $SA = 2a$

- $SA \perp (ABC)$

### Các bước tính toán:

1. **Tìm tọa độ của các điểm:**

   Giả sử $B$ là gốc tọa độ $(0, 0, 0)$, $A$ có tọa độ $(a, 0, 0)$, và $C$ có tọa độ $(0, b, 0)$. Điểm $S$ có tọa độ $(0, 0, 2a)$ vì $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và có độ dài bằng $2a$.

2. **Phương trình mặt phẳng $(SBC)$:**

   Để tìm phương trình mặt phẳng $(SBC)$, ta cần ba điểm $S$, $B$, $C$.

   - Tọa độ điểm $S$: $(0, 0, 2a)$

   - Tọa độ điểm $B$: $(0, 0, 0)$

   - Tọa độ điểm $C$: $(0, b, 0)$

   Vector $\overrightarrow{SB} = (0, 0, 0) - (0, 0, 2a) = (0, 0, -2a)$

   Vector $\overrightarrow{BC} = (0, b, 0) - (0, 0, 0) = (0, b, 0)$

   Sử dụng tích có hướng để tìm một vector pháp tuyến của mặt phẳng:

   \[

   \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{BC} = (0, 0, -2a) \times (0, b, 0) = (2ab, 0, 0)

   \]

   Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng là $(2ab, 0, 0)$.

3. **Phương trình mặt phẳng $(SBC)$:**

   Sử dụng vector pháp tuyến $(2ab, 0, 0)$ và điểm $S (0, 0, 2a)$:

   Phương trình mặt phẳng có dạng:

   \[

   2ab \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = d

   \]

   Thay tọa độ điểm $S$ vào phương trình:

   \[

   2ab \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 2a = d \implies d = 0

   \]

   Do đó, phương trình mặt phẳng $(SBC)$ là:

   \[

   x = 0

   \]

4. **Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$:**

   Điểm $A$ có tọa độ $(a, 0, 0)$.

   Phương trình mặt phẳng $(SBC)$ là $x = 0$.

   Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $x = 0$ là giá trị tuyệt đối của tọa độ $x$ của điểm $A$:

   \[

   \text{Khoảng cách} = |a| = a

   \]

Vậy, khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\boxed{a}$.

Để tính xác suất lấy ra hai bóng đèn đều bị hỏng từ hộp chứa 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng, ta cần tính số cách chọn 2 bóng đèn từ các bóng hỏng và số cách chọn 2 bóng đèn từ tất cả các bóng đèn trong hộp. 

### Tổng số cách chọn 2 bóng đèn từ 12 bóng đèn:

Số cách chọn 2 bóng đèn từ 12 bóng đèn là:

$\binom{12}{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$

### Số cách chọn 2 bóng đèn hỏng từ 4 bóng đèn hỏng:

Số cách chọn 2 bóng đèn hỏng từ 4 bóng đèn hỏng là:

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

### Xác suất để hai bóng đèn lấy ra đều bị hỏng:

Xác suất để hai bóng đèn lấy ra đều bị hỏng là tỉ số giữa số cách chọn 2 bóng đèn hỏng và tổng số cách chọn 2 bóng đèn:

$P = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{12}{2}} = \frac{6}{66} = \frac{1}{11}$

Vậy xác suất để hai bóng đèn lấy ra đều bị hỏng là:

$\boxed{\frac{1}{11}}$

Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $f(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x$, ta cần xem xét đạo hàm của hàm số này.

### Tính đạo hàm của $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (\sin x + \sqrt{3} \cos x)$

$f'(x) = \cos x - \sqrt{3} \sin x$

### Xét dấu của $f'(x)$:

Hàm số $f(x)$ nghịch biến khi $f'(x) \leq 0$.

$\cos x - \sqrt{3} \sin x \leq 0$

$\cos x \leq \sqrt{3} \sin x$

Chia cả hai vế cho $\cos x$ (giả sử $\cos x \neq 0$):

$1 \leq \sqrt{3} \tan x$

$\tan x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$

### Xác định khoảng nghịch biến:

Ta cần tìm các khoảng mà $\tan x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Biết rằng $\tan x$ có chu kỳ $\pi$, ta xem xét khoảng $[0, \pi]$:

$\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{6} + k\pi$

Do đó, khoảng nghịch biến của hàm số $f(x)$ là các khoảng mà $x$ thoả mãn:

$x \in \left[ \frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi \right) \text{ với } k \in \mathbb{Z}$

Tóm lại, hàm số $f(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ nghịch biến trên các khoảng:

$\left( \frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi \right) \text{ với } k \in \mathbb{Z}$

Để giải các phương trình trên, chúng ta sẽ giải lần lượt từng phương trình một.

### Phương trình 1:

$\sqrt{x^2} \cdot (3 - \sqrt{x}) = 0$

Chúng ta biết rằng $\sqrt{x^2} = |x|$, do đó phương trình trở thành:

$|x| \cdot (3 - \sqrt{x}) = 0$

Phương trình này sẽ có nghiệm khi một trong hai biểu thức nhân với nhau bằng 0:

1. $|x| = 0$

2. $3 - \sqrt{x} = 0$

#### Giải quyết từng trường hợp:

1. $|x| = 0$

   $x = 0$

2. $3 - \sqrt{x} = 0$

   $\sqrt{x} = 3$

   $x = 3^2$

   $x = 9$

Vậy nghiệm của phương trình thứ nhất là:

$x = 0 \text{ hoặc } x = 9$

### Phương trình 2:

$\left( \sqrt{x} + \frac{1}{2} \right) \left( 3 - \frac{\sqrt{x}}{4} \right) = 0$

Phương trình này sẽ có nghiệm khi một trong hai biểu thức nhân với nhau bằng 0:

1. $\sqrt{x} + \frac{1}{2} = 0$

2. $3 - \frac{\sqrt{x}}{4} = 0$

#### Giải quyết từng trường hợp:

1. $\sqrt{x} + \frac{1}{2} = 0$

   $\sqrt{x} = -\frac{1}{2}$

   Tuy nhiên, vì $\sqrt{x}$ luôn không âm, không tồn tại $x$ nào thỏa mãn $\sqrt{x} = -\frac{1}{2}$. Do đó, không có nghiệm từ biểu thức này.

2. $3 - \frac{\sqrt{x}}{4} = 0$

   $\frac{\sqrt{x}}{4} = 3$

   $\sqrt{x} = 12$

   $x = 12^2$

   $x = 144$

Vậy nghiệm của phương trình thứ hai là:

$x = 144$

### Tổng kết nghiệm của cả hai phương trình:

Phương trình thứ nhất có nghiệm:

$x = 0 \text{ hoặc } x = 9$

Phương trình thứ hai có nghiệm:

$x = 144$

Do đó, nghiệm của cả hai phương trình là:

$x = 0, x = 9, x = 144$

• Cho xin 1 like

### Bước 1: Thu gọn đa thức

Đầu tiên, ta kết hợp các hạng tử giống nhau:

$A(x) = 2x^4 - x^2 + 4x - 5 + x$

$A(x) = 2x^4 - x^2 + (4x + x) - 5$

$A(x) = 2x^4 - x^2 + 5x - 5$

### Bước 2: Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần

$A(x) = 2x^4 - x^2 + 5x - 5$

### Bước 3: Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do

- **Bậc của đa thức**: Bậc của đa thức là luỹ thừa lớn nhất của $x$, trong trường hợp này là 4.

- **Hệ số của bậc cao nhất**: Hệ số của $x^4$ là 2.

- **Hệ số tự do**: Hệ số tự do (hay còn gọi là hằng số) là -5.

### Bước 4: Tính giá trị của $A(2)$

$A(2) = 2(2)^4 - (2)^2 + 5(2) - 5$

$A(2) = 2 \cdot 16 - 4 + 10 - 5$

$A(2) = 32 - 4 + 10 - 5$

$A(2) = 33$

### Tổng kết:

- **Đa thức đã thu gọn và sắp xếp**: $A(x) = 2x^4 - x^2 + 5x - 5$

- **Bậc của đa thức**: 4

- **Hệ số của bậc cao nhất**: 2

- **Hệ số tự do**: -5

- **Giá trị của $A(2)$**: 33