Để giải phương trình (1), ta cần sử dụng định lý Viète. Theo định lý Viète, tổng và tích của nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 là x1+x2=−ba𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎 và x1x2=ca𝑥1𝑥2=𝑐𝑎, tương ứng.

Ứng dụng định lý Viète vào phương trình (1), ta có:
x1+x2=−2m𝑥1+𝑥2=−2𝑚 và x1x2=m2+m𝑥1𝑥2=𝑚2+𝑚.

Điều kiện đã cho là (x1−x2)(x21−x22)=32(𝑥1−𝑥2)(𝑥12−𝑥22)=32.
Thay các giá trị đã biết:
(x1−x2)(x21−x22)=(x1−x2)(x1+x2)(x1−x2)=(x1−x2)2(x1+x2)(𝑥1−𝑥2)(𝑥12−𝑥22)=(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)=(𝑥1−𝑥2)2(𝑥1+𝑥2).

Thay các giá trị x1+x2𝑥1+𝑥2 và x1−x2𝑥1−𝑥2:
(−2m)2(−2m)=4m2(−2m)=−8m3(−2𝑚)2(−2𝑚)=4𝑚2(−2𝑚)=−8𝑚3.

Suy ra, −8m3=32−8𝑚3=32, từ đó m3=−4𝑚3=−4.
Vậy, m=−3√4𝑚=−43.

Để giải phương trình x2−2(m+1)x+m2+m+2=0𝑥2−2(𝑚+1)𝑥+𝑚2+𝑚+2=0 với m=2𝑚=2, ta thay m𝑚 bằng 22 vào phương trình và giải theo x.

x2−2(2+1)x+22+2+2=0𝑥2−2(2+1)𝑥+22+2+2=0

x2−6x+8=0𝑥2−6𝑥+8=0

Để giải phương trình bậc hai này, ta có thể sử dụng công thức vi phân:

x=−b±√b2−4ac2a𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎

Với a=1,b=−6,𝑎=1,𝑏=−6, và c=8𝑐=8, ta có:

x=6±√(−6)2−4⋅1⋅82⋅1𝑥=6±(−6)2−4⋅1⋅82⋅1

x=6±√36−322𝑥=6±36−322

x=6±√42𝑥=6±42

x=6±22𝑥=6±22

x1=6+22=82=4𝑥1=6+22=82=4

x2=6−22=42=2𝑥2=6−22=42=2

Vậy nghiệm của phương trình là x=4𝑥=4 và x=2𝑥=2 khi m=2𝑚=2.

Để giải bài toán này, ta sử dụng các kiến thức về hình học không gian và thể tích quả cầu.

Gọi R𝑅 là bán kính của quả cầu lớn. Khi hai quả cầu tiếp xúc, đường thẳng nối trung điểm của đường kính của quả cầu nhỏ với trung điểm của đường kính của quả cầu lớn là đoạn vuông góc với mặt bàn và có độ dài bằng tổng của hai bán kính.

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:

(R−12)2+(R−12)2=(2R)2(𝑅−12)2+(𝑅−12)2=(2𝑅)2

Giải phương trình trên để tìm R𝑅:

2(R−12)2=4R22(𝑅−12)2=4𝑅2

(R−12)2=2R2(𝑅−12)2=2𝑅2

R2−24R+144=2R2𝑅2−24𝑅+144=2𝑅2

−R2−24R+144=0−𝑅2−24𝑅+144=0

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta cần phải đảo dấu của tất cả các hạng tử và chia cho hệ số của R2𝑅2:

R2+24R−144=0𝑅2+24𝑅−144=0

Sau đó, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

R=−b±√b2−4ac2a𝑅=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎

Ở đây, a=1,b=24,𝑎=1,𝑏=24, và c=−144𝑐=−144. Thực hiện các phép tính:

R=−24±√242−4⋅1⋅(−144)2⋅1𝑅=−24±242−4⋅1⋅(−144)2⋅1

R=−24±√576+5762𝑅=−24±576+5762

R=−24±√11522𝑅=−24±11522

R=−24±24√22𝑅=−24±2422

R=−12±12√2𝑅=−12±122

Vì R𝑅 phải là một giá trị dương, nên ta chọn R=−12+12√2𝑅=−12+122 vì nó lớn hơn 0.

Vậy, thể tích của quả cầu lớn gần nhất là:

V=43πR3𝑉=43𝜋𝑅3

V=43π(−12+12√2)3𝑉=43𝜋(−12+122)3

Tính toán giá trị số, ta có:

V≈23879.5cm3𝑉≈23879.5cm3

Vậy thể tích của quả cầu lớn gần nhất là khoảng 23879.5 cm3cm3.