$$\begin{gathered} \frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+...+\frac{1}{2005\times 2007} \\ =\frac{1}{2}\times \left(\frac{2}{1\times 3}+\frac{2}{3\times 5}+...+\frac{2}{2005\times 2007}\right) \\ =\frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2007}\right) \\ =\frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{2007}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{1\times 2007-1}{2007}=\frac{1}{2}\times \frac{2006}{2007}=\frac{1003}{2007} \end{gathered}$$.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  ,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

hd;

$$\begin{gathered} =\frac{1}{2}.(\frac{2}{3.1}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{2005.2007}) \\ =\frac{1}{2}.(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/2005-1/2007) \\ =\frac{1}{2}.(1-1/2007) \\ =\frac{1}{2}.\frac{2006}{2007}=\frac{1003}{2007} \end{gathered}$$