Ta cần chứng minh: với mọi dãy gồm 10 số $1$ và 10 số $-1$, luôn tồnây giờ xét sự thay đổi khi dịch cửa sổ 10 số sang phải một vị tại 10 số liên tiếp có tổng bằng $0$.

Gọi dãy là
$$a_1,a_2,\dots ,a_{20},a_i\in \{1,-1\},$$
và
$$\sum _{i=1}^{20}{a}_i=0.$$

Xét các tổng của 10 số liên tiếp:
$$S_k=a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_{k+10},k=0,1,\dots ,10.$$

Ta có
$$S_0=a_1+\cdots +a_{10},$$
còn
$$S_{10}=a_{11}+\cdots +a_{20}\mathrm{.}$$
Do tổng cả 20 số bằng $0$, nên
$$S_{10}=-S_0\mathrm{.}$$

Bây giờ xét sự thay đổi khi dịch cửa sổ 10 số sang phải một vị trí:
$$S_{k+1}-S_k=a_{k+11}-a_{k+1}\mathrm{.}$$
Vì $a_{k+11},a_{k+1}\in \{1,-1\}$, nên hiệu này chỉ có thể là
$$-2,0,2.$$
Do đó các $S_k$ thay đổi từng bước 0 hoặc $\pm 2$.

• Nếu $S_0=0$, ta đã tìm được ngay.

• Nếu $S_0>0$, thì $S_{10}=-S_0<0$. Khi đi từ $S_0$ đến $S_{10}$, vì mỗi bước chỉ giảm nhiều nhất $2$, nên bắt buộc có một $S_k=0$.

• Tương tự, nếu $S_0<0$, cũng phải có một $S_k=0$.

Vậy luôn tồn tại $k$ sao cho
$$S_k=0,$$
tức là có 10 số liên tiếp có tổng bằng $0$.