Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ), các đường cao BH và CK cắt nhau tại
E . Đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC
cắt nhau tại D . Gọi M là trung điểm của BC .a) Tứ giác BDCE là hình gì? Vì sao?
b) M có phải là trung điểm của DE không? Vì sao?
c) Tam giác ABC là tam giác gì thì DE đi qua A ?
Quảng cáo
1 câu trả lời 20
a)
Ta có 𝐵𝐻⟂𝐴𝐶
(do BH đường cao B tam giác H𝐵𝐻
là đường cao của △𝐴𝐵𝐶và 𝐶𝐷⟂𝐴𝐶
(theo giả thiết đường thẳng qua Ccap C
𝐶
vuông góc với ACcap A cap C
𝐴𝐶
) ⇒𝐵𝐸
∥𝐶𝐷
.
Lại có 𝐶𝐾
⟂𝐴𝐵
(do CKcap C cap K
𝐶𝐾
là đường cao của △
𝐴𝐵𝐶
) và 𝐵𝐷
⟂𝐴𝐵
(theo giả thiết đường thẳng qua Bcap B
𝐵
vuông góc với ABcap A cap B
𝐴𝐵
) ⇒𝐶𝐸
∥𝐵𝐷
.
Tứ giác BDCEcap B cap D cap C cap E
𝐵𝐷𝐶𝐸
có các cặp cạnh đối song song ( 𝐵𝐸
∥𝐶𝐷
và 𝐶𝐸
∥𝐵𝐷
) nên là hình bình hành.
(do BH đường cao B tam giác H𝐵𝐻
là đường cao của △𝐴𝐵𝐶và 𝐶𝐷⟂𝐴𝐶
(theo giả thiết đường thẳng qua Ccap C
𝐶
vuông góc với ACcap A cap C
𝐴𝐶
) ⇒𝐵𝐸
∥𝐶𝐷
.
Lại có 𝐶𝐾
⟂𝐴𝐵
(do CKcap C cap K
𝐶𝐾
là đường cao của △
𝐴𝐵𝐶
) và 𝐵𝐷
⟂𝐴𝐵
(theo giả thiết đường thẳng qua Bcap B
𝐵
vuông góc với ABcap A cap B
𝐴𝐵
) ⇒𝐶𝐸
∥𝐵𝐷
.
Tứ giác BDCEcap B cap D cap C cap E
𝐵𝐷𝐶𝐸
có các cặp cạnh đối song song ( 𝐵𝐸
∥𝐶𝐷
và 𝐶𝐸
∥𝐵𝐷
) nên là hình bình hành.
b)Vì tứ giác \[BDCE\] là hình bình hành (chứng minh ở câu a), nên hai đường chéo \[BC\] và \[DE\] cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Mà \[M\] là trung điểm của \[BC\], nên \[M\] cũng chính là trung điểm của \[DE\] (hay ba điểm \(D, M, E\) thẳng hàng)
c)
Để DEcap D cap E
𝐷𝐸
đi qua Acap A
𝐴
, vì Mcap M
𝑀
thuộc đoạn DEcap D cap E
𝐷𝐸
và là trung điểm DEcap D cap E
𝐷𝐸
, điều đó có nghĩa là 𝐴
,
𝐸
,
𝑀
,
𝐷
thẳng hàng ⇒AMimplies cap A cap M
⇒𝐴𝑀
chính là đường thẳng DEcap D cap E
𝐷𝐸
.
Trong △
𝐴𝐵𝐶
, BHcap B cap H
𝐵𝐻
và CKcap C cap K
𝐶𝐾
là hai đường cao cắt nhau tại Ecap E
𝐸
, nên Ecap E
𝐸
là trực tâm của △
𝐴𝐵𝐶
⇒𝐴𝐸
⟂𝐵𝐶
.
Khi 𝐴
,
𝐸
,
𝑀
thẳng hàng, ta suy ra 𝐴𝑀
⟂𝐵𝐶
.
Tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
có trung tuyến AMcap A cap M
𝐴𝑀
đồng thời là đường cao ( 𝐴𝑀
⟂𝐵𝐶
), do đó △
𝐴𝐵𝐶
là tam giác cân tại Acap A
𝑨
.
𝐷𝐸
đi qua Acap A
𝐴
, vì Mcap M
𝑀
thuộc đoạn DEcap D cap E
𝐷𝐸
và là trung điểm DEcap D cap E
𝐷𝐸
, điều đó có nghĩa là 𝐴
,
𝐸
,
𝑀
,
𝐷
thẳng hàng ⇒AMimplies cap A cap M
⇒𝐴𝑀
chính là đường thẳng DEcap D cap E
𝐷𝐸
.
Trong △
𝐴𝐵𝐶
, BHcap B cap H
𝐵𝐻
và CKcap C cap K
𝐶𝐾
là hai đường cao cắt nhau tại Ecap E
𝐸
, nên Ecap E
𝐸
là trực tâm của △
𝐴𝐵𝐶
⇒𝐴𝐸
⟂𝐵𝐶
.
Khi 𝐴
,
𝐸
,
𝑀
thẳng hàng, ta suy ra 𝐴𝑀
⟂𝐵𝐶
.
Tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
có trung tuyến AMcap A cap M
𝐴𝑀
đồng thời là đường cao ( 𝐴𝑀
⟂𝐵𝐶
), do đó △
𝐴𝐵𝐶
là tam giác cân tại Acap A
𝑨
.
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
2725
-
2380
-
1331
Gửi báo cáo thành công!
