a) Chứng minh tứ giác MNIP là hình thoi
Vì tam giác MNP cân tại M và K là trung điểm của NP nên:

MK⊥NP.

Theo giả thiết, K là trung điểm của MI.

Xét tứ giác MNIP, hai đường chéo của tứ giác là MI và NP.

Ta có:

K là trung điểm của MI;
K là trung điểm của NP.
Vậy hai đường chéo MI và NP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra MNIP là hình bình hành.

Lại có:

MI⊥NP.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Do đó:

MNIP là hình thoi.
b) Chứng minh tứ giác KRIQ là hình thoi
Gọi R,Q lần lượt là trung điểm của NI,IP.

Xét tam ágic NIP:

R là trung điểm của NI;
Q là trung điểm của IP.
Theo định lý đường trung bình:

RQ∥NP,RQ=$\frac{1}{2}$NP.

Mà K là trung điểm của NP, nên:

KP=KN=$\frac{1}{2}$NP.

Do đó:

RQ=KP.

Mặt khác, trong tam giác NIP:

K là trung điểm của NP;
R là trung điểm của NI.
Suy ra:

KR∥PI,KR=$\frac{1}{2}$PI.

Và vì Q là trung điểm của PI:

IQ=QP=$\frac{1}{2}$PI.

Suy ra:

KR=IQ,KR∥IQ.

Vậy tứ giác KRIQ là hình bình hành.

Lại có từ hình thoi MNIP:

MI=NP.

Do đó:

KR=$\frac{1}{2}$PI,KP=$\frac{1}{2}$NP.

Cách nhanh hơn là dùng tính chất hình thoi MNIP: MN=NI=IP=PM. Vì R,Q là trung điểm:

RI=$\frac{1}{2}$NI,IQ=$\frac{1}{2}$IP.

Suy ra:

RI=IQ.

Kết hợp với hình bình hành KRIQ, ta được KRIQ là hình thoi.

KRIQ là hình thoi.

Kết luận:

a) MNIP là hình thoi

b) KRIQ là hình thoi​