a) Chứng minh ΔABC là tam giác vuông

Xét độ dài các cạnh của ΔABC:

AB2+AC2=32+42=9+16=25
BC2=52=25
Nhận thấy AB2+AC2=BC2, theo định lý Pitago đảo, ΔABC vuông tại A.

b) Tính độ dài BH và MN

Tính BH: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao AH:

AB2=BH×BC⟹BH=BCAB2​=532​=1,8 cm
Tính MN: Vì HM⊥AB tại M và HN⊥AC tại N, nên HMA =90∘ và HNA =90∘. Tam giác ABC vuông tại A nên MAN =90∘. Do đó, tứ giác AMHN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Trong hình chữ nhật AMHN, hai đường chéo bằng nhau: MN=AH.

Áp dụng hệ thức lượng để tính đường cao AH:

AH×BC=AB×AC⟹AH=BCAB×AC​=53×4​=2,4 cm
Vậy MN=2,4 cm.
c) Tính diện tích tứ giác AMHN

Tứ giác AMHN là hình chữ nhật, diện tích bằng SAMHN​=AM×AN.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB (đường cao HM):

AM=ABAH2​=32,42​=1,92 cm
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC (đường cao HN):

AN=ACAH2​=42,42​=1,44 cm
Diện tích hình chữ nhật AMHN:

SAMHN​=AM×AN=1,92×1,44=2,7648 cm2
d) Chứng minh AMN =ACB

Trong hình chữ nhật AMHN, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và MN. Ta có OA=OM=OH=ON, suy ra ΔOAM cân tại O, do đó:

AMN =MAH (1)
Trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có:

MAH +ACH =90∘⟹MAH =ACB (2)
Từ (1) và (2), suy ra AMN =ACB (đpcm).

a, Chứng minh tam giác ABC vuông

Xét độ dài các cạnh của tam giác ABC:

$AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$BC^2 = 5^2 = 25$

Thấy $AB^2 + AC^2 = BC^2$, theo định lý Pitago đảo, tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

b, Tính BH và MN

Tính BH:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$:
$AB^2 = BH \cdot BC$
$\Rightarrow 3^2 = BH \cdot 5 \Rightarrow BH = \frac{9}{5} = 1{,}8\text{ cm}$

Tính MN:
Ta có $\widehat{A} = 90^\circ$, $HM \perp AB \Rightarrow \widehat{AMH} = 90^\circ$, $HN \perp AC \Rightarrow \widehat{ANH} = 90^\circ$.
Tứ giác $AMHN$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
Do đó, hai đường chéo bằng nhau: $MN = AH$.

Áp dụng hệ thức lượng tính đường cao $AH$:
$AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow AH \cdot 5 = 3 \cdot 4 \Rightarrow AH = 2{,}4\text{ cm}$

Vậy $MN = AH = 2{,}4\text{ cm}$.

c, Tính diện tích tứ giác AMHN

Trong tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có đường cao $HM$:

$HM \cdot AB = AH \cdot HB \Rightarrow HM \cdot 3 = 2{,}4 \cdot 1{,}8 \Rightarrow HM = 1{,}44\text{ cm}$

Trong tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HN$:

$HN \cdot AC = AH \cdot HC$

Với $HC = BC - BH = 5 - 1{,}8 = 3{,}2\text{ cm}$

$HN \cdot 4 = 2{,}4 \cdot 3{,}2 \Rightarrow HN = 1{,}92\text{ cm}$

Vì $AMHN$ là hình chữ nhật nên diện tích là:
$S_{AMHN} = HM \cdot HN = 1{,}44 \cdot 1{,}92 = 2{,}7648\text{ cm}^2$

d, Chứng minh $\widehat{AMN} = \widehat{ACB}$

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có đường cao $HM$:

$AH^2 = AM \cdot AB \Rightarrow AM = \frac{AH^2}{AB}$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HN$:

$AH^2 = AN \cdot AC \Rightarrow AN = \frac{AH^2}{AC}$

Do đó:
$AM \cdot AB = AN \cdot AC \Rightarrow \frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ACB$:

Góc $\widehat{A}$ chung

Tỷ lệ cạnh: $\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$

Suy ra $\Delta AMN \sim \Delta ACB$ (c.g.c).
Do đó, hai góc tương ứng bằng nhau: $\widehat{AMN} = \widehat{ACB}$.