Đường tròn đi qua 4 đỉnh của hình vuông ABCD có tâm tại giao điểm E và bán kính bằng $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm (khoảng 2,12 cm).
a) Chứng minh và xác định tính chất đối xứng
 
Chứng minh: 
E là giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD.
Hai đường chéo hình vuông bằng nhau.
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra $EA = EB = EC = ED$.
Vậy bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm E.

Tâm đối xứng: 
Tâm đối xứng của đường tròn là tâm E.

Trục đối xứng: 
Đường thẳng chứa đường chéo AC.
Đường thẳng chứa đường chéo BD.

b) Tính bán kính của đường tròn
 
Các bước tính: 
Xét tam giác vuông ABC vuông tại B.
Áp dụng định lý Pitago: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
Thay số vào công thức: $AC^2 = 3^2 + 3^2 = 18$.
Độ dài đường chéo $AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\text{ cm}$.
Bán kính đường tròn bằng một nửa đường chéo.
Kết quả: $R = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$.

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

 
Vì $ABCD$ là hình vuông có $E$ là giao điểm hai đường chéo, theo tính chất của hình vuông:

Hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau ($AC = BD$).
$E$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$.
Do đó, khoảng cách từ $E$ đến $4$ đỉnh là hoàn toàn bằng nhau:

$EA = EB = EC = ED$
Vậy $4$ điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên đường tròn tâm $E$, bán kính $R = EA$.

Tâm đối xứng và trục đối xứng:

Tâm đối xứng: Chính là tâm $E$ của đường tròn (vì mọi đường thẳng qua $E$ đều cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng qua $E$).
Hai trục đối xứng: Bất kỳ đường thẳng nào đi qua tâm $E$ đều là trục đối xứng của đường tròn. Hai đường thẳng tiêu biểu có thể chỉ ra là:

Đường thẳng chứa đường chéo $AC$.
Đường thẳng chứa đường chéo $BD$.
b) Tính bán kính $R$ của đường tròn khi cạnh hình vuông bằng $3\text{ cm}$

Xét tam giác vuông $ABC$ vuông tại $B$:

Theo định lý Pythagore:

$\Rightarrow AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\text{ cm}$
Vì $E$ là trung điểm của đường chéo $AC$, bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp là:

$R = EA = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ cm} \approx 2{,}12\text{ cm}$

$\color{blue}{\mathcal{leducthienphuoc-danhoidap247}}$

a) Chứng minh 4 điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn và xác định tính chất đối xứng
Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn:Vì \(ABCD\) là hình vuông có \(E\) là giao điểm của hai đường chéo, nên theo tính chất hình vuông, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Do đó, ta có: \(EA = EB = EC = ED\).
Vì bốn điểm \(A, B, C, D\) cách đều điểm \(E\), nên chúng cùng nằm trên đường tròn tâm \(E\), bán kính \(R = EA\).

Xác định tâm đối xứng:Tâm đối xứng của đường tròn này chính là tâm \(E\) (giao điểm hai đường chéo của hình vuông).

Chỉ ra 2 trục đối xứng:Đường tròn có vô số trục đối xứng (là các đường thẳng đi qua tâm \(E\)). Tuy nhiên, dựa vào hình vuông \(ABCD\), ta có thể chỉ ra 2 trục đối xứng dễ thấy nhất là:Đường thẳng chứa đường chéo \(AC\) (hoặc \(BD\)).
Đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện (ví dụ: đường thẳng đi qua trung điểm của \(AB\) và \(CD\)).

b) Tính bán kính của đường tròn khi cạnh hình vuông bằng \(3\text{ cm}\)
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) (vì \(ABCD\) là hình vuông):
Theo định lý Pytago, ta có:
\(AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\)
\(AC^{2}=3^{2}+3^{2}=9+9=18\)
Suy ra độ dài đường chéo \(AC\):
\(AC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{\ (cm)}\)

Vì \(E\) là trung điểm của \(AC\) nên bán kính \(R\) của đường tròn là:
\(R=EA=\frac{AC}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,12\text{\ (cm)}\)
Kết luận: Bán kính của đường tròn là \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ cm}\) (hoặc khoảng \(2,12\text{ cm}\)).