Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh bốn điểm B, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn
Để chứng minh bốn điểm B, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn, ta chứng minh $\angle MIN = 90^\circ$ và $\angle MBN = 90^\circ$ để chúng cùng nhìn đoạn MN dưới một góc vuông.

Xét hai tam giác vuông $\triangle DAM$ và $\triangle ABN$:
$AD = AB$ (hai cạnh của hình vuông $ABCD$).
$AM = BN$ (vì $M, N$ là trung điểm của hai cạnh bằng nhau $AB$ và $BC$).
$\angle DAM = \angle ABN = 90^\circ$.

Suy ra $\triangle DAM = \triangle ABN$ (trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Do đó, $\angle ADM = \angle BAN$ (hai góc tương ứng).
Ta có $\angle BAN + \angle NAD = \angle BAD = 90^\circ$.
Thay $\angle BAN = \angle ADM$ vào, ta được: $\angle ADM + \angle NAD = 90^\circ$.
Xét tam giác $ADI$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:
$\angle AID = 180^\circ - (\angle ADM + \angle NAD) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Vì $A, I, N$ thẳng hàng và $D, I, M$ thẳng hàng, ta có $\angle MIN = \angle AID = 90^\circ$ (hai góc đối đỉnh).
Mặt khác, $\angle MBN = \angle ABC = 90^\circ$ (góc của hình vuông).
Vì $\angle MIN = 90^\circ$ và $\angle MBN = 90^\circ$, điểm $I$ và $B$ cùng nhìn đoạn thẳng $MN$ dưới một góc vuông.

Kết luận: Bốn điểm B, I, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính MN.

b) Kể tên đường kính và hai dây cung của đường tròn
Dựa vào đường tròn đi qua bốn điểm $B, I, M, N$ ở câu a:

Đường kính: MN (vì góc $\angle MBN = 90^\circ$).
Hai dây cung: BI và BM (hoặc bạn có thể chọn các dây cung khác như BN, MI, NI).

c) Chứng minh BI nhỏ hơn MN

Trong một đường tròn, đường kính luôn là dây cung có độ dài lớn nhất.
Đường tròn đi qua bốn điểm $B, I, M, N$ có MN là đường kính, còn BI là một dây cung.
Vì điểm $I$ nằm hẳn bên trong hình vuông nên dây cung $BI$ không thể đi qua tâm đường tròn để trở thành đường kính.
Do đó, độ dài dây cung BI phải nghiêm ngặt nhỏ hơn đường kính MN.

Kết luận: BI < MN (điều phải chứng minh).

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh bốn điểm B, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn
Để chứng minh bốn điểm B, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn, ta chứng minh $\angle MIN = 90^\circ$ và $\angle MBN = 90^\circ$ để chúng cùng nhìn đoạn MN dưới một góc vuông.

Xét hai tam giác vuông $\triangle DAM$ và $\triangle ABN$:
$AD = AB$ (hai cạnh của hình vuông $ABCD$).
$AM = BN$ (vì $M, N$ là trung điểm của hai cạnh bằng nhau $AB$ và $BC$).
$\angle DAM = \angle ABN = 90^\circ$.

Suy ra $\triangle DAM = \triangle ABN$ (trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Do đó, $\angle ADM = \angle BAN$ (hai góc tương ứng).
Ta có $\angle BAN + \angle NAD = \angle BAD = 90^\circ$.
Thay $\angle BAN = \angle ADM$ vào, ta được: $\angle ADM + \angle NAD = 90^\circ$.
Xét tam giác $ADI$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:
$\angle AID = 180^\circ - (\angle ADM + \angle NAD) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Vì $A, I, N$ thẳng hàng và $D, I, M$ thẳng hàng, ta có $\angle MIN = \angle AID = 90^\circ$ (hai góc đối đỉnh).
Mặt khác, $\angle MBN = \angle ABC = 90^\circ$ (góc của hình vuông).
Vì $\angle MIN = 90^\circ$ và $\angle MBN = 90^\circ$, điểm $I$ và $B$ cùng nhìn đoạn thẳng $MN$ dưới một góc vuông.

Kết luận: Bốn điểm B, I, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính MN.

b) Kể tên đường kính và hai dây cung của đường tròn
Dựa vào đường tròn đi qua bốn điểm $B, I, M, N$ ở câu a:

Đường kính: MN (vì góc $\angle MBN = 90^\circ$).
Hai dây cung: BI và BM (hoặc bạn có thể chọn các dây cung khác như BN, MI, NI).

c) Chứng minh BI nhỏ hơn MN

Trong một đường tròn, đường kính luôn là dây cung có độ dài lớn nhất.
Đường tròn đi qua bốn điểm $B, I, M, N$ có MN là đường kính, còn BI là một dây cung.
Vì điểm $I$ nằm hẳn bên trong hình vuông nên dây cung $BI$ không thể đi qua tâm đường tròn để trở thành đường kính.
Do đó, độ dài dây cung BI phải nghiêm ngặt nhỏ hơn đường kính MN.

Kết luận: BI < MN (điều phải chứng minh).

Answer 3

a) Chứng minh B,I,M,N cùng nằm trên đường tròn
Vì M,N là trung điểm nên:

BM=2AB,BN=2BCMà AB=BC nên

BM=BN.Lại có AB⊥BC, do đó:

∠BMN=∠BNM=45∘.Từ I∈AN và I∈DM, ta có thể chứng minh được:

∠BIM=∠BNM=45∘.Suy ra

∠BIM=∠BNM,nên B,I,M,N cùng nằm trên một đường tròn.

b) Hai dây cung và đường kính
Trên đường tròn BIMN:

Hai dây cung có thể kể: BI,MN.
Đường kính là BN vì BN chính là đoạn thẳng nối hai điểm thuộc đường tròn và qua tâm.
c) Chứng minh BI<MN
Đặt cạnh hình vuông là a.

Ta có:

MN=2a2.Từ giao điểm I của AN,DM, tính được:

BI=5a5.Mà

55<22,nên

BI<MN

Answer 4

a) Chứng minh bốn điểm B, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn
Để chứng minh bốn điểm B, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn, ta chứng minh ∠MIN=90∘ và ∠MBN=90∘ để chúng cùng nhìn đoạn MN dưới một góc vuông.

Xét hai tam giác vuông △DAM và △ABN:
AD=AB (hai cạnh của hình vuông ABCD).
AM=BN (vì M,N là trung điểm của hai cạnh bằng nhau AB và BC).
∠DAM=∠ABN=90∘.

Suy ra △DAM=△ABN (trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Do đó, ∠ADM=∠BAN (hai góc tương ứng).
Ta có ∠BAN+∠NAD=∠BAD=90∘.
Thay ∠BAN=∠ADM vào, ta được: ∠ADM+∠NAD=90∘.
Xét tam giác ADI, tổng ba góc bằng 180∘:
∠
Vì A,I,N thẳng hàng và D,I,M thẳng hàng, ta có ∠MIN=∠AID=90∘ (hai góc đối đỉnh).
Mặt khác, ∠MBN=∠ABC=90∘ (góc của hình vuông).
Vì ∠MIN=90∘ và ∠MBN=90∘, điểm I và B cùng nhìn đoạn thẳng MN dưới một góc vuông.

Kết luận: Bốn điểm B, I, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính MN.

b) Kể tên đường kính và hai dây cung của đường tròn
Dựa vào đường tròn đi qua bốn điểm B,I,M,N ở câu a:

Đường kính: MN (vì góc ∠MBN=90∘).
Hai dây cung: BI và BM (hoặc bạn có thể chọn các dây cung khác như BN, MI, NI).

c) Chứng minh BI nhỏ hơn MN

Trong một đường tròn, đường kính luôn là dây cung có độ dài lớn nhất.
Đường tròn đi qua bốn điểm B,I,M,N có MN là đường kính, còn BI là một dây cung.
Vì điểm I nằm hẳn bên trong hình vuông nên dây cung BI không thể đi qua tâm đường tròn để trở thành đường kính.
Do đó, độ dài dây cung BI phải nghiêm ngặt nhỏ hơn đường kính MN.

Kết luận: BI < MN (điều phải chứng minh).

$\color{green}{\mathcal{leducthienphuoc}}$