Để chứng minh $AC \cdot \cos A = BC \cdot \cos C$, ta áp dụng định lý Ceva trong tam giác $ABC$.

1. Áp dụng định lý Ceva

Ba đường thẳng $AD$, $BH$, $CE$ đồng quy tại điểm $O$, nên theo định lý Ceva:

$\frac{DB}{DC} \cdot \frac{HC}{HA} \cdot \frac{EA}{EB} = 1$
2. Tính tỉ số các đoạn thẳng

Đường phân giác $AD$: Theo tính chất đường phân giác, ta có:

$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$
Đường trung tuyến $CE$: Do $E$ là trung điểm của $AB$ nên:

$\frac{EA}{EB} = 1$
Đường cao $BH$: Xét hai tam giác vuông $BHA$ và $BHC$:

$HA = AB \cdot \cos A = c \cdot \cos A$
$HC = BC \cdot \cos C = a \cdot \cos C$

$\Rightarrow \frac{HC}{HA} = \frac{a \cdot \cos C}{c \cdot \cos A}$
3. Thay các tỉ số vào biểu thức Ceva

Thay ba kết quả trên vào đẳng thức Ceva ban đầu:

$\left(\frac{c}{b}\right) \cdot \left(\frac{a \cdot \cos C}{c \cdot \cos A}\right) \cdot 1 = 1$
Rút gọn $c$ ở tử và mẫu:

$\frac{a \cdot \cos C}{b \cdot \cos A} = 1 \iff a \cdot \cos C = b \cdot \cos A$
Do $a = BC$ và $b = AC$, ta thu được điều phải chứng minh:

$BC \cdot \cos C = AC \cdot \cos A \quad \text{hay} \quad AC \cdot \cos A = BC \cdot \cos C$

$\color{yellow}{\mathcal{leducthienphuoc}}$ 

1. Phân tích điều kiện đồng quy bằng Định lý Ceva
Xét tam giác \(ABC\) có ba đường \(AD\) (phân giác), \(BH\) (đường cao), \(CE\) (trung tuyến) đồng quy tại \(O\). Theo định lý Ceva, tích tỉ số các đoạn thẳng trên ba cạnh phải bằng \(1\):
\(\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CH}{HA}=1\)
Ta lần lượt thay thế các tỉ số này bằng độ dài các cạnh hoặc các hàm lượng giác của tam giác \(ABC\) (ký hiệu các cạnh đối diện các đỉnh \(A, B, C\) lần lượt là \(a, b, c\)):
Vì \(CE\) là đường trung tuyến: \(E\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AE = EB\).
\(\Rightarrow \frac{AE}{EB}=1\)
Vì \(AD\) là đường phân giác trong: Theo tính chất đường phân giác, tỉ số hai đoạn thẳng đáy bằng tỉ số hai cạnh bên.
\(\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\)

Thay hai tỉ số trên vào công thức Ceva, ta được:
\(1\cdot \frac{c}{b}\cdot \frac{CH}{HA}=1\implies \frac{CH}{HA}=\frac{b}{c}\)
\(\Rightarrow c\cdot CH=b\cdot HA\quad \text{(1)}\)

2. Biến đổi lượng giác và hình học
Bây giờ, ta xét vị trí của chân đường cao \(H\) trên cạnh \(AC\) để biểu diễn \(CH\) và \(HA\):
Xét tam giác vuông \(BHA\) (vuông tại \(H\)):
\(HA=AB\cdot \cos A=c\cdot \cos A\)
Xét tam giác vuông \(BHC\) (vuông tại \(H\)):
\(CH=BC\cdot \cos C=a\cdot \cos C\)

Thay các biểu thức của \(HA\) và \(CH\) vào đẳng thức \((1)\), ta được:
\(c\cdot (a\cdot \cos C)=b\cdot (c\cdot \cos A)\)
Rút gọn cả hai vế cho \(c\) (vì \(c = AB > 0\)), ta thu được:
\(a\cdot \cos C=b\cdot \cos A\)

3. Kết luận
Thay lại ký hiệu độ dài các cạnh bằng tên các đoạn thẳng tương ứng (\(a = BC\) và \(b = AC\)), đẳng thức trở thành:
\(BC\cdot \cos C=AC\cdot \cos A\)
Hay viết xuôi lại chính là điều phải chứng minh:
\(AC\cdot \cos A=BC\cdot \cos C\)