Cho tam giác ABC, các đường phân phân giác ad , đường cao BH, đường trung tuyến ce , dong quy tại o cm ac× cosa = BC × cosc
Quảng cáo
3 câu trả lời 30
Đẳng thức $AC \cdot \cos A = BC \cdot \cos C$ hoàn toàn chính xác. Hệ thức này được chứng minh trực tiếp bằng cách áp dụng định lý Ceva cho ba đường đồng quy trong tam giác $ABC$.
Các bước chứng minh chi tiết
Vì ba đường thẳng $AD$ (phân giác), $BH$ (đường cao), và $CE$ (trung tuyến) đồng quy tại $O$, theo định lý Ceva ta có hệ thức:
Ta lần lượt xác định giá trị của từng tỉ số:
Tỉ số thứ nhất (Đường phân giác $AD$):
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác:
Tỉ số thứ hai (Đường cao $BH$):
Xét tam giác vuông $BHC$ và tam giác vuông $BHA$:
$CH = BC \cdot \cos C$
$HA = AB \cdot \cos A$
Suy ra tỉ số:
Tỉ số thứ ba (Đường trung tuyến $CE$):
Vì $E$ là trung điểm của cạnh $AB$ nên $AE = EB$. Do đó:
Kết luận
Thay cả ba tỉ số trên vào hệ thức Ceva ban đầu:
Rút gọn cạnh $AB$ ở tử và mẫu:
Nhân chéo hai vế, ta thu được điều phải chứng minh:
Ta có tam giác ABC, AD là phân giác, BH là đường cao, CE là đường trung tuyến, đồng quy tại O.
Cần chứng minh:
ACcosA=BCcosC.Vì BH⊥AC, trong tam giác vuông ABH:
AH=ABcosA.Tương tự, vì BH⊥AC, xét hình chiếu của BC lên AC:
HC=BCcosC.Do A,O,D thẳng hàng và O cũng nằm trên BH,CE, từ tính chất đồng quy của phân giác – đường cao – trung tuyến, suy ra AH=HC.
Vậy:
ABcosA=BCcosC.
Để chứng minh $AC \cdot \cos A = BC \cdot \cos C$, ta áp dụng định lý Ceva trong tam giác $ABC$.
1. Áp dụng định lý Ceva
Ba đường thẳng $AD$, $BH$, $CE$ đồng quy tại điểm $O$, nên theo định lý Ceva:
2. Tính tỉ số các đoạn thẳng
Đường phân giác $AD$: Theo tính chất đường phân giác, ta có:
Đường trung tuyến $CE$: Do $E$ là trung điểm của $AB$ nên:
Đường cao $BH$: Xét hai tam giác vuông $BHA$ và $BHC$:
$HA = AB \cdot \cos A = c \cdot \cos A$
$HC = BC \cdot \cos C = a \cdot \cos C$
3. Thay các tỉ số vào biểu thức Ceva
Thay ba kết quả trên vào đẳng thức Ceva ban đầu:
Rút gọn $c$ ở tử và mẫu:
Do $a = BC$ và $b = AC$, ta thu được điều phải chứng minh:
$\color{yellow}{\mathcal{leducthienphuoc}}$
Quảng cáo
Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
16195
-
10548
-
`\color{#8C33FF}{mi}\color{#F3EBFF}{su}`
845 điểm
-
`color{ pink}text{Con Elon Musk }`
285 điểm
-
Hummmm
190 điểm
-
$\Huge\color{PowderBlue}{STALIN}$
160 điểm
-
lê đức thiên phước
135 điểm
-
kq nguyn~
130 điểm
-
Hưởng Nguyễn 105 điểm
-
$\color{#FA8072}{౨ৎ𝒽ế𝓉౨ৎ𝓉𝒽ờ𝒾 ౨ৎ𝓹𝓻𝓲𝓶𝓮シ}$
105 điểm
-
ghê 90 điểm
-
Sakura Mochi
85 điểm
-
`color{lightpink}text{lov.h}`
50 điểm
-
Lê Quyết 45 điểm
-
`color{#B0C4DE}text{Vợ Olga}`
45 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 9
-
4 năm trước8973
-
4 năm trước8331
-
4 năm trước7749
-
4 năm trước7769
