Dưới đây là tổng hợp các bài tập tự luận về đường tròn, cung và dây của một đường tròn, độ dài của cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên trong sách Toán 9 Kết nối tri thức, tập 1. Mỗi bài tập gồm 15 câu hỏi:

### Bài Tập 1: Đường tròn, cung và dây
1. Định nghĩa đường tròn và các yếu tố liên quan.
2. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Tính độ dài của dây AB nếu AB = 2R.
3. Vẽ một đường tròn và chỉ ra các cung, dây, và tâm của nó.
4. Nếu cung AB dài 10 cm và bán kính đường tròn là 5 cm, tính độ dài dây AB.
5. Giải thích mối quan hệ giữa cung và dây trong một đường tròn.
6. Cho đường tròn có bán kính 6 cm. Tính độ dài cung có số đo 60 độ.
7. Vẽ hình và xác định các điểm A, B, C trên đường tròn.
8. Tính diện tích hình tròn có bán kính 4 cm.
9. Nếu dây AB dài 8 cm, tính độ dài cung tương ứng với dây này.
10. Giải thích cách xác định độ dài cung từ góc ở tâm.
11. Cho đường tròn có bán kính 10 cm. Tính độ dài cung tương ứng với góc 90 độ.
12. Vẽ một đường tròn và chỉ ra các dây vuông góc với bán kính.
13. Tính độ dài dây AB nếu góc ở tâm AOB = 120 độ và bán kính R = 5 cm.
14. So sánh độ dài của hai dây AB và CD trong cùng một đường tròn.
15. Tính diện tích hình tròn có đường kính 10 cm.

### Bài Tập 2: Độ dài của cung tròn
1. Định nghĩa độ dài của cung tròn và công thức tính.
2. Tính độ dài cung tròn có bán kính 7 cm và số đo góc 45 độ.
3. Nếu cung tròn dài 15 cm, tính số đo góc ở tâm.
4. Giải thích ý nghĩa của độ dài cung trong hình học.
5. Cho đường tròn có bán kính 8 cm. Tính độ dài cung tương ứng với góc 180 độ.
6. Vẽ hình và chỉ ra các cung tròn trong đường tròn.
7. Tính độ dài cung tròn có số đo 30 độ và bán kính 5 cm.
8. So sánh độ dài của hai cung tròn trong cùng một đường tròn.
9. Tính độ dài cung tròn có bán kính 12 cm và số đo góc 60 độ.
10. Giải thích cách tính độ dài cung tròn từ diện tích hình tròn.
11. Cho đường tròn có bán kính 9 cm. Tính độ dài cung tương ứng với góc 120 độ.
12. Vẽ hình và xác định các cung tròn trong một hình tròn lớn.
13. Tính độ dài cung tròn có số đo 90 độ và bán kính 10 cm.
14. So sánh độ dài cung tròn và độ dài dây trong cùng một đường tròn.
15. Tính độ dài cung tròn có bán kính 15 cm và số đo góc 150 độ.

### Bài Tập 3: Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
1. Định nghĩa hình quạt tròn và hình vành khuyên.
2. Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 5 cm và số đo góc 90 độ.
3. Nếu diện tích hình vành khuyên là 20 cm², tính bán kính ngoài và trong.
4. Giải thích công thức tính diện tích hình quạt tròn.
5. Cho hình quạt tròn có bán kính 6 cm và số đo góc 60 độ. Tính diện tích.
6. Vẽ hình và chỉ ra các phần của hình vành khuyên.
7. Tính diện tích hình vành khuyên có bán kính ngoài 10 cm và bán kính trong 5 cm.
8. So sánh diện tích của hai hình quạt tròn khác nhau.
9. Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 8 cm và số đo góc 120 độ.
10. Giải thích ý nghĩa của diện tích hình vành khuyên trong thực tế.
11. Cho hình quạt tròn có bán kính 4 cm và số đo góc 45 độ. Tính diện tích.
12. Vẽ hình và xác định các phần của hình quạt tròn.
13. Tính diện tích hình vành khuyên có bán kính ngoài 12 cm và bán kính trong 8 cm.
14. So sánh diện tích hình quạt tròn và diện tích hình tròn.
15. Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 9 cm và số đo góc 150 độ.

 n

Bài 1: Khái niệm đường tròn. Đường kính và dây của đường tròn

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng minh rằng ba đỉnh $A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó.
Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$ sao cho $OM = R\sqrt{2}$. Xác định vị trí tương đối của điểm $M$ đối với đường tròn $(O)$.
Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và một dây $AB = 8\text{ cm}$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$.
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Một dây $CD$ cắt $AB$ tại $I$. Biết $IC = ID$. Chứng minh rằng $AB \perp CD$.
Cho đường tròn $(O; 13\text{ cm})$ và dây $AB$. Biết khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ bằng $5\text{ cm}$. Tính độ dài dây $AB$.
Cho đường tròn $(O)$ có hai dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $E$ nằm ngoài đường tròn. Chứng minh rằng $EA = EC$ và $EB = ED$.
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Dây $CD$ không cắt $AB$. Kẻ $AE$ và $BF$ vuông góc với $CD$ ($E, F$ thuộc $CD$). Chứng minh rằng $CE = DF$.
Cho đường tròn $(O; R)$, hai dây $AB$ và $CD$ song song với nhau. Biết $AB = 6\text{ cm}, CD = 8\text{ cm}$ và $R = 5\text{ cm}$. Tính khoảng cách giữa hai dây $AB$ và $CD$ (xét hai trường hợp tâm $O$ nằm trong và ngoài dải song song).
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Kẻ đường cao $AH$ của tam giác. Chứng minh rằng $AH$ đi qua tâm $O$.
Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $AB, CD$ sao cho $AB > CD$. Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $O$ trên $AB$ và $CD$. So sánh $OH$ và $OK$.
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Gọi $C, D$ là hai điểm trên nửa đường tròn sao cho dây $CD$ có độ dài bằng bán kính $R$. Cắt $AC$ và $BD$ tại $M$. Tính số đo góc $AMD$.
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 6\text{ cm}, BC = 8\text{ cm}$. Chứng minh bốn đỉnh $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính đường tròn đó.
Cho đường tròn $(O)$ và dây $AB$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $C$. Kẻ $OH \perp AB$ tại $H$. Chứng minh rằng $OC^2 = HC^2 + OH^2$.
Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $A$ nằm bên trong đường tròn ($A \neq O$). Dựng dây $BC$ đi qua $A$ sao cho $BC$ có độ dài ngắn nhất.
Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ vuông góc với dây $CD$ tại $I$. Chứng minh rằng $IC \cdot ID = IA \cdot IB$. [1, 2, 3, 4, 5]

Bài 2: Cung và dây của một đường tròn

Cho đường tròn $(O)$ có hai dây $AB$ và $CD$ bằng nhau. Chứng minh rằng cung nhỏ $AB$ bằng cung nhỏ $CD$.
Cho đường tròn $(O)$, điểm $M$ nằm trên cung nhỏ $AB$. Chứng minh rằng sđ $\overparen{AM}$ + sđ $\overparen{MB}$ = sđ $\overparen{AB}$.
Cho đường tròn $(O)$ có dây $AB$ bằng bán kính $R$. Tính số đo của cung nhỏ và cung lớn $AB$.
Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ vuông góc với dây $CD$ tại $M$. Chứng minh rằng $B$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $CD$.
Cho đường tròn $(O)$ và hai cung nhỏ $AB, CD$ sao cho cung $AB$ lớn hơn cung $CD$. Chứng minh rằng dây $AB$ lớn hơn dây $CD$.
Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tính số đo các cung nhỏ $\overparen{AB}, \overparen{BC}, \overparen{CA}$.
Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $AB, CD$ song song với nhau. Chứng minh rằng hai cung bị chắn giữa hai dây song song đó bằng nhau ($\overparen{AC} = \overparen{BD}$).
Cho hai đường tròn đồng tâm $(O; R)$ và $(O; r)$ với $R > r$. Một đường thẳng cắt hai đường tròn tại các điểm tương ứng $A, B, C, D$ (theo thứ tự). Chứng minh rằng $\overparen{AB} = \overparen{CD}$ trên các đường tròn tương ứng.
Cho đường tròn $(O)$ và dây $AB$. Trên cung lớn $AB$ lấy điểm $C$ sao cho $AC = BC$. Chứng minh rằng tia $CO$ là tia phân giác của góc $ACB$.
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Lấy điểm $C$ trên nửa đường tròn sao cho sđ $\overparen{AC} = 60^\circ$. Chứng minh rằng dây $AC$ bằng bán kính $O$ và tính độ dài dây $BC$ theo $R$.
Cho đường tròn $(O)$, dây $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $I$ nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng $\triangle IAC \sim \triangle IDB$.
Cho đường tròn $(O)$, vẽ hai dây $AB$ và $AC$ bằng nhau. Gọi $M, N$ lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ $AB$ và $AC$. Chứng minh $AM = AN$.
Cho đường tròn $(O)$ có cung nhỏ $AB$ có số đo bằng $90^\circ$. Tính độ dài dây $AB$ theo bán kính $R$.
Cho đường tròn $(O)$, hai bán kính $OA, OB$ vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $M$. Vẽ $MH \perp OA, MK \perp OB$. Chứng minh rằng $HK$ có độ dài không đổi khi $M$ di chuyển trên cung nhỏ $AB$.
Cho đường tròn $(O)$ và một dây $AB$. Gọi $C$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $AB$. Kẻ đường kính $CD$. Chứng minh rằng $CD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. [6, 7, 8, 9, 10]

Bài 3: Độ dài cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Tính chu vi và diện tích của một hình tròn có bán kính $R = 6\text{ cm}$ (lấy $\pi \approx 3,14$).
Một cung tròn thuộc đường tròn bán kính $12\text{ cm}$ có số đo bằng $60^\circ$. Tính độ dài của cung tròn đó.
Tính diện tích hình quạt tròn bán kính $8\text{ cm}$, số đo cung là $120^\circ$.
Cho hai đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là $R = 10\text{ cm}$ và $r = 6\text{ cm}$. Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn này.
Một hình quạt tròn có diện tích bằng $6\pi\text{ cm}^2$ và bán kính bằng $6\text{ cm}$. Tìm số đo của cung tròn tương ứng.
Cho cung tròn có độ dài $l = 4\pi\text{ cm}$ và số đo cung là $90^\circ$. Tính bán kính $R$ của đường tròn đó.
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Vẽ ba cung tròn tâm $A, B, C$ bán kính $\frac{a}{2}$ nằm bên trong tam giác. Tính tổng độ dài của ba cung tròn đó.
Tính diện tích hình vành khuyên biết hiệu hai bán kính là $3\text{ cm}$ và tổng hai bán kính là $15\text{ cm}$.
Một bánh xe ô tô có đường kính $60\text{ cm}$. Hỏi bánh xe phải lăn bao nhiêu vòng để ô tô đi được quãng đường $1,884\text{ km}$ (lấy $\pi \approx 3,14$)?
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $4\text{ cm}$. Vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $4\text{ cm}$ nối từ $B$ đến $D$. Tính diện tích hình giới hạn bởi hai cạnh $BC, CD$ và cung tròn $BD$.
Một hình quạt tròn có độ dài cung là $5\pi\text{ cm}$ và bán kính $R = 10\text{ cm}$. Tính diện tích của hình quạt tròn này.
Cho hình vành khuyên có bán kính đường tròn lớn gấp đôi bán kính đường tròn nhỏ. Biết diện tích hình vành khuyên là $27\pi\text{ cm}^2$. Tính bán kính của mỗi đường tròn.
Cho đường tròn $(O; 6\text{ cm})$ và dây $AB = 6\sqrt{3}\text{ cm}$. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $AB$ và cung nhỏ $AB$.
Một bồn hoa hình tròn được bao quanh bởi một lối đi bộ có chiều rộng đều bằng $1,5\text{ m}$. Biết diện tích lối đi bộ (hình vành khuyên) là $18\pi\text{ m}^2$. Tìm bán kính của bồn hoa.
Cho tam giác vuông cân $ABC$ tại $A$ có $AB = AC = 4\text{ cm}$. Vẽ nửa đường tròn đường kính $BC$ ra phía ngoài tam giác và quạt tròn tâm $A$ bán kính $AB$ nằm trong tam giác. Tính diện tích phần hình trăng khuyết giới hạn bởi hai cung tròn này.