Dưới đây là lời giải chi tiết cho các yêu cầu của bài toán hình học:
## 1. Chứng minh $AC^2 = CM \cdot CB$
Ta có $\angle AMB = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$). Từ đó suy ra $AM \perp BC$ tại $M$.
Vì $AC$ là tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ nên $AC \perp AB$ tại $A$, hay tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AM$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
$AC^2 = CM \cdot CB$
------------------------------
## 2. Chứng minh $CM \cdot CB = CD \cdot CE$
Xét tam giác $ACO$ vuông tại $A$, áp dụng định lý Pythagore, ta có:
$AC^2 = CO^2 - AO^2 = CO^2 - R^2$
Vì đường thẳng $CO$ cắt đường tròn tại hai điểm $D$ và $E$ ($D$ nằm giữa $C$ và $O$) nên:

* $CD = CO - OD = CO - R$
* $CE = CO + OE = CO + R$

Tích của hai đoạn thẳng này là:
$CD \cdot CE = (CO - R)(CO + R) = CO^2 - R^2$
Từ hai điều trên, ta suy ra:
$AC^2 = CD \cdot CE$
Mà theo kết quả ở câu 1, ta đã có $AC^2 = CM \cdot CB$. Do đó:
$CM \cdot CB = CD \cdot CE$
------------------------------
## 3. Chứng minh $CK$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$
Ta có dây cung $AK \perp CO$ tại $H$. Theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung, $CO$ đi qua trung điểm của $AK$ và đóng vai trò là đường trung trực của đoạn thẳng $AK$.
Vì điểm $C$ nằm trên đường trung trực của $AK$ nên ta có $CA = CK$.
Xét $\triangle CAO$ và $\triangle CKO$ có:

* $CA = CK$ (chứng minh trên)
* $CO$ là cạnh chung
* $OA = OK = R$

Suy ra $\triangle CAO = \triangle CKO$ (trường hợp cạnh - cạnh - cạnh).
Do hai tam giác bằng nhau nên các góc tương ứng bằng nhau:
$\angle CKO = \angle CAO$
Mà $AC$ là tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ nên $\angle CAO = 90^\circ$. Suy ra $\angle CKO = 90^\circ$, hay $CK \perp OK$ tại $K$.
Vì điểm $K$ thuộc đường tròn $(O)$ và $CK$ vuông góc với bán kính $OK$ tại vị trí tiếp xúc, nên $CK$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

1. Chứng minh \(AC^2 = CM \cdot CB\)
Xét đường tròn \((O)\), góc \(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do \(AB\) là đường kính).
\(\implies \widehat{AMB} = 90^\circ \implies AM \perp BC\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (do \(AC\) là tiếp tuyến tại \(A\) nên \(AC \perp AB\)), có đường cao \(AM\) hạ từ đỉnh vuông xuống cạnh huyền \(BC\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\):
\(AC^{2}=CM\cdot CB\quad \text{(đpcm)}\)

2. Chứng minh \(CM \cdot CB = CD \cdot CE\)
Để chứng minh hệ thức này, ta sẽ chứng minh cả hai vế cùng bằng \(AC^{2}\).
Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(ECA\), ta có:Góc \(\widehat{ACE}\) chung.
Góc \(\widehat{CAD}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AD\).
Góc \(\widehat{CEA}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AD\).
\(\implies \widehat{CAD} = \widehat{CEA}\).

Do đó, \(\Delta ACD \sim \Delta ECA\) (g.g).
Suy ra tỉ số đồng dạng:
\(\frac{AC}{EC}=\frac{CD}{AC}\implies AC^{2}=CD\cdot CE\)
Từ kết quả câu 1 (\(AC^2 = CM \cdot CB\)), ta suy ra:
\(CM\cdot CB=CD\cdot CE\quad \text{(đpcm)}\)

3. Chứng minh \(CK\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)
Xét đường tròn \((O)\) có đường kính \(AB\), bán kính \(OA = OK = R\). Do đó \(\Delta OAK\) cân tại \(O\).
Đoạn \(CO \perp AK\) tại \(H\), nên \(CO\) đóng vai trò là đường cao của tam giác cân \(\Delta OAK\).
Trong tam giác cân, đường cao đồng thời là đường phân giác \(\implies \widehat{AOC} = \widehat{KOC}\).
Xét \(\Delta AOC\) và \(\Delta KOC\), ta có:\(OA = OK = R\)
\(\widehat{AOC} = \widehat{KOC}\) (chứng minh trên)
Cạnh \(CO\) chung.

\(\implies \Delta AOC = \Delta KOC\) (c.g.c).
Suy ra các góc tương ứng bằng nhau: \(\widehat{CKO} = \widehat{CAO}\).
Mà \(AC\) là tiếp tuyến tại \(A\) nên \(\widehat{CAO} = 90^\circ \implies \widehat{CKO} = 90^\circ\).
Do \(\widehat{CKO} = 90^\circ\) và \(K\) thuộc đường tròn \((O)\), nên \(CK\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)

Dưới đây là lời giải chi tiết cho các yêu cầu của bài toán hình học:
## 1. Chứng minh AC2=CM⋅CB
Ta có ∠AMB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB). Từ đó suy ra AM⊥BC tại M.
Vì AC là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên AC⊥AB tại A, hay tam giác ABC vuông tại A.
Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AM, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
A
------------------------------
## 2. Chứng minh CM⋅CB=CD⋅CE
Xét tam giác ACO vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:
A
Vì đường thẳng CO cắt đường tròn tại hai điểm D và E (D nằm giữa C và O) nên:

* CD=CO−OD=CO−R
* CE=CO+OE=CO+R

Tích của hai đoạn thẳng này là:
C
Từ hai điều trên, ta suy ra:
A
Mà theo kết quả ở câu 1, ta đã có AC2=CM⋅CB. Do đó:
C
------------------------------
## 3. Chứng minh CK là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Ta có dây cung AK⊥CO tại H. Theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung, CO đi qua trung điểm của AK và đóng vai trò là đường trung trực của đoạn thẳng AK.
Vì điểm C nằm trên đường trung trực của AK nên ta có CA=CK.
Xét △CAO và △CKO có:

* CA=CK (chứng minh trên)
* CO là cạnh chung
* OA=OK=R

Suy ra △CAO=△CKO (trường hợp cạnh - cạnh - cạnh).
Do hai tam giác bằng nhau nên các góc tương ứng bằng nhau:
∠
Mà AC là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên ∠CAO=90∘. Suy ra ∠CKO=90∘, hay CK⊥OK tại K.
Vì điểm K thuộc đường tròn (O) và CK vuông góc với bán kính OK tại vị trí tiếp xúc, nên CK là tiếp tuyến của đường tròn (O).