Biểu thức $C = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{20}$ chia hết cho cả 5, 6 và 13 nhờ vào tính chất chia hết của một tổng và phương pháp nhóm các số hạng thích hợp.
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu:
1. Nhóm thừa số chung cho câu a
Ta có biểu thức:
$C = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{20}$
Đặt 5 làm thừa số chung cho toàn bộ biểu thức:
$C = 5 \cdot (1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{19})$
Vì tích này có chứa thừa số 5 nên số đó luôn chia hết cho 5.
$\Rightarrow C \vdots 5$
2. Nhóm hai số hạng liên tiếp cho câu b
Biểu thức C có tổng cộng 20 số hạng. Ta tiến hành nhóm các số hạng thành các cặp, mỗi cặp gồm 2 số hạng liên tiếp:
$C = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4) + \dots + (5^{19} + 5^{20})$
Đặt thừa số chung cho từng nhóm:
$C = 5 \cdot (1 + 5) + 5^3 \cdot (1 + 5) + \dots + 5^{19} \cdot (1 + 5)$
$C = 5 \cdot 6 + 5^3 \cdot 6 + \dots + 5^{19} \cdot 6$
$C = 6 \cdot (5 + 5^3 + \dots + 5^{19})$
Vì tích này có chứa thừa số 6 nên tổng C luôn chia hết cho 6.
$\Rightarrow C \vdots 6$
3. Nhóm bốn số hạng liên tiếp cho câu c
Vì biểu thức C có 20 số hạng và $20 \vdots 4$, ta có thể nhóm các số hạng thành các nhóm, mỗi nhóm gồm 4 số hạng liên tiếp:
$C = (5 + 5^2 + 5^3 + 5^4) + \dots + (5^{17} + 5^{18} + 5^{19} + 5^{20})$
Đặt thừa số chung cho từng nhóm:
$C = 5 \cdot (1 + 5 + 5^2 + 5^3) + \dots + 5^{17} \cdot (1 + 5 + 5^2 + 5^3)$
Tính giá trị trong ngoặc:
$1 + 5 + 5^2 + 5^3 = 1 + 5 + 25 + 125 = 156$
Thay vào biểu thức ta được:
$C = 5 \cdot 156 + \dots + 5^{17} \cdot 156$
$C = 156 \cdot (5 + \dots + 5^{17})$
Mà số 156 chia hết cho 13 (156 = 13 ⋅ 12). Do đó, tích này chắc chắn chia hết cho 13.
$\Rightarrow C \vdots 13$
✅ Kết luận
Biểu thức $C = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{20}$ đã được chứng minh thành công là chia hết cho 5, chia hết cho 6 và chia hết cho 13.