a) Chứng minh AM = BM
Vì \(ABCD\) là hình thang cân (\(AB // CD\)) nên ta có:\(AD = BC\) (hai cạnh bên bằng nhau)
\(\widehat{D} = \widehat{C}\) (hai góc kề một đáy bằng nhau)

Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên:\(DM = CM = \frac{CD}{2}\)

Xét hai tam giác \(\triangle ADM\) và \(\triangle BCM\):\(AD = BC\) (chứng minh trên)
\(\widehat{D} = \widehat{C}\) (chứng minh trên)
\(DM = CM\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \triangle ADM = \triangle BCM\) (trường hợp cạnh - góc - cạnh)

Từ hai tam giác bằng nhau, ta suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:\(\mathbf{AM=BM}\) (Đpcm)

b) Chứng minh MN là đường cao của hình thang
Để chứng minh \(MN\) là đường cao, ta cần chứng minh \(MN \perp AB\) hoặc \(MN \perp CD\).
Xét tam giác \(AMB\):Theo câu a, ta có \(AM = BM\) \(\Rightarrow \triangle AMB\) là tam giác cân tại M.

Vì \(N\) là trung điểm của đáy \(AB\), nên đoạn thẳng \(MN\) chính là đường trung tuyến của tam giác cân \(AMB\).
Trong một tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời cũng là đường cao.
\(\Rightarrow MN \perp AB\) tại \(N\).
Mà \(AB // CD\) (theo đề bài), đường thẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
\(\Rightarrow MN \perp CD\) tại \(M\).

Kết luận: Vì \(MN \perp AB\) và \(MN \perp CD\) nên \(MN\) chính là đường cao của hình thang cân \(ABCD\) (Đpcm).

a) Chứng minh AM = BM
Vì \(ABCD\) là hình thang cân (\(AB // CD\)) nên ta có:\(AD = BC\) (hai cạnh bên bằng nhau)
\(\widehat{D} = \widehat{C}\) (hai góc kề một đáy bằng nhau)

Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên:\(DM = CM = \frac{CD}{2}\)

Xét hai tam giác \(\triangle ADM\) và \(\triangle BCM\):\(AD = BC\) (chứng minh trên)
\(\widehat{D} = \widehat{C}\) (chứng minh trên)
\(DM = CM\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \triangle ADM = \triangle BCM\) (trường hợp cạnh - góc - cạnh)

Từ hai tam giác bằng nhau, ta suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:\(\mathbf{AM=BM}\) (Đpcm)

b) Chứng minh MN là đường cao của hình thang
Để chứng minh \(MN\) là đường cao, ta cần chứng minh \(MN \perp AB\) hoặc \(MN \perp CD\).
Xét tam giác \(AMB\):Theo câu a, ta có \(AM = BM\) \(\Rightarrow \triangle AMB\) là tam giác cân tại M.

Vì \(N\) là trung điểm của đáy \(AB\), nên đoạn thẳng \(MN\) chính là đường trung tuyến của tam giác cân \(AMB\).
Trong một tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời cũng là đường cao.
\(\Rightarrow MN \perp AB\) tại \(N\).
Mà \(AB // CD\) (theo đề bài), đường thẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
\(\Rightarrow MN \perp CD\) tại \(M\).

Kết luận: Vì \(MN \perp AB\) và \(MN \perp CD\) nên \(MN\) chính là đường cao của hình thang cân \(ABCD\) (Đpcm).