a) Chứng minh Tam giác AOB cân tại O
Vì \(ABCD\) là hình thang cân (\(AB // CD\)) nên hai góc kề đáy lớn bằng nhau:\(\widehat{ADC} = \widehat{BCD}\) (hoặc viết là \(\widehat{D} = \widehat{C}\))

Vì \(AB // CD\), áp dụng tính chất đồng vị, ta có:\(\widehat{OAB} = \widehat{ADC}\) (hai góc đồng vị)
\(\widehat{OBA} = \widehat{BCD}\) (hai góc đồng vị)

Từ (1) và (2) suy ra:\(\widehat{OAB} = \widehat{OBA}\)

Xét tam giác \(\triangle AOB\) có hai góc đáy bằng nhau (\(\widehat{OAB} = \widehat{OBA}\)) nên \(\triangle AOB\) cân tại O (Đpcm).

b) Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle BAC\)
Xét hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle BAC\), ta có:
\(AB\) là cạnh chung.
\(\widehat{DAB} = \widehat{CBA}\) (Tính chất hai góc kề đáy nhỏ của hình thang cân \(ABCD\)).
\(AD = BC\) (Tính chất hai cạnh bên của hình thang cân \(ABCD\)).

\(\Rightarrow \mathbf{\triangle ABD=\triangle BAC}\) (Trường hợp cạnh - góc - cạnh) (Đpcm).

c) Chứng minh EC = ED
Từ kết quả hai tam giác bằng nhau ở câu b (\(\triangle ABD = \triangle BAC\)), ta suy ra hai góc tương ứng bằng nhau:\(\widehat{ADB} = \widehat{BCA}\) (hoặc viết là \(\widehat{EDE} = \widehat{ECE}\))

Xét tam giác lớn \(\triangle OCD\):Ở câu a ta đã có \(\triangle AOB\) cân tại \(O \Rightarrow OA = OB\).
Mà \(ABCD\) là hình thang cân \(\Rightarrow AD = BC\).
Cộng đoạn thẳng: \(OD = OA + AD\) và \(OC = OB + BC\). Do đó \(OD = OC \Rightarrow \triangle OCD\) cân tại \(O\).
Suy ra hai góc đáy lớn bằng nhau: \(\widehat{ODC} = \widehat{OCD}\).

Ta có:\(\widehat{EDC} = \widehat{ODC} - \widehat{ADB}\)
\(\widehat{ECD} = \widehat{OCD} - \widehat{BCA}\)

Vì \(\widehat{ODC} = \widehat{OCD}\) và \(\widehat{ADB} = \widehat{BCA}\), suy ra:\(\widehat{EDC} = \widehat{ECD}\)

Xét tam giác \(\triangle ECD\) có hai góc đáy bằng nhau (\(\widehat{EDC} = \widehat{ECD}\)) nên \(\triangle ECD\) cân tại E, từ đó suy ra \(EC = ED\) (Đpcm).

d) Chứng minh OE là đường trung trực của cả đoạn thẳng AB và CD
Một điểm nằm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Đối với đoạn thẳng AB:Theo câu a, \(\triangle AOB\) cân tại \(O \Rightarrow OA = OB\) (Điểm \(O\) cách đều \(A\) và \(B\)). (1)
Từ câu b và c, ta cũng có \(EA = EB\) (vì \(\triangle EAB\) cân tại \(E\) do \(\widehat{EAB} = \widehat{EBA}\)). (Điểm \(E\) cách đều \(A\) và \(B\)). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OE\) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Đối với đoạn thẳng CD:Theo chứng minh ở câu c, \(\triangle OCD\) cân tại \(O \Rightarrow OD = OC\) (Điểm \(O\) cách đều \(C\) và \(D\)). (3)
Theo câu c, \(\triangle ECD\) cân tại \(E \Rightarrow ED = EC\) (Điểm \(E\) cách đều \(C\) và \(D\)). (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(OE\) là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Kết luận: \(OE\) đồng thời là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) (Đpcm).

a) Chứng minh Tam giác AOB cân tại O
Vì \(ABCD\) là hình thang cân (\(AB // CD\)) nên hai góc kề đáy lớn bằng nhau:\(\widehat{ADC} = \widehat{BCD}\) (hoặc viết là \(\widehat{D} = \widehat{C}\))

Vì \(AB // CD\), áp dụng tính chất đồng vị, ta có:\(\widehat{OAB} = \widehat{ADC}\) (hai góc đồng vị)
\(\widehat{OBA} = \widehat{BCD}\) (hai góc đồng vị)

Từ (1) và (2) suy ra:\(\widehat{OAB} = \widehat{OBA}\)

Xét tam giác \(\triangle AOB\) có hai góc đáy bằng nhau (\(\widehat{OAB} = \widehat{OBA}\)) nên \(\triangle AOB\) cân tại O (Đpcm).

b) Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle BAC\)
Xét hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle BAC\), ta có:
\(AB\) là cạnh chung.
\(\widehat{DAB} = \widehat{CBA}\) (Tính chất hai góc kề đáy nhỏ của hình thang cân \(ABCD\)).
\(AD = BC\) (Tính chất hai cạnh bên của hình thang cân \(ABCD\)).

\(\Rightarrow \mathbf{\triangle ABD=\triangle BAC}\) (Trường hợp cạnh - góc - cạnh) (Đpcm).

c) Chứng minh EC = ED
Từ kết quả hai tam giác bằng nhau ở câu b (\(\triangle ABD = \triangle BAC\)), ta suy ra hai góc tương ứng bằng nhau:\(\widehat{ADB} = \widehat{BCA}\) (hoặc viết là \(\widehat{EDE} = \widehat{ECE}\))

Xét tam giác lớn \(\triangle OCD\):Ở câu a ta đã có \(\triangle AOB\) cân tại \(O \Rightarrow OA = OB\).
Mà \(ABCD\) là hình thang cân \(\Rightarrow AD = BC\).
Cộng đoạn thẳng: \(OD = OA + AD\) và \(OC = OB + BC\). Do đó \(OD = OC \Rightarrow \triangle OCD\) cân tại \(O\).
Suy ra hai góc đáy lớn bằng nhau: \(\widehat{ODC} = \widehat{OCD}\).

Ta có:\(\widehat{EDC} = \widehat{ODC} - \widehat{ADB}\)
\(\widehat{ECD} = \widehat{OCD} - \widehat{BCA}\)

Vì \(\widehat{ODC} = \widehat{OCD}\) và \(\widehat{ADB} = \widehat{BCA}\), suy ra:\(\widehat{EDC} = \widehat{ECD}\)

Xét tam giác \(\triangle ECD\) có hai góc đáy bằng nhau (\(\widehat{EDC} = \widehat{ECD}\)) nên \(\triangle ECD\) cân tại E, từ đó suy ra \(EC = ED\) (Đpcm).

d) Chứng minh OE là đường trung trực của cả đoạn thẳng AB và CD
Một điểm nằm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Đối với đoạn thẳng AB:Theo câu a, \(\triangle AOB\) cân tại \(O \Rightarrow OA = OB\) (Điểm \(O\) cách đều \(A\) và \(B\)). (1)
Từ câu b và c, ta cũng có \(EA = EB\) (vì \(\triangle EAB\) cân tại \(E\) do \(\widehat{EAB} = \widehat{EBA}\)). (Điểm \(E\) cách đều \(A\) và \(B\)). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OE\) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Đối với đoạn thẳng CD:Theo chứng minh ở câu c, \(\triangle OCD\) cân tại \(O \Rightarrow OD = OC\) (Điểm \(O\) cách đều \(C\) và \(D\)). (3)
Theo câu c, \(\triangle ECD\) cân tại \(E \Rightarrow ED = EC\) (Điểm \(E\) cách đều \(C\) và \(D\)). (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(OE\) là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Kết luận: \(OE\) đồng thời là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) (Đpcm).