Ta có:

- \( A = \frac{1}{1011} \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2019}\right) \)
- \( B = \frac{1}{1010} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{2020}\right) \)

---

**Bước 1: Xác định số phần tử trong mỗi tổng**

- Tổng trong \( A \) là tổng các phân số với mẫu số lẻ từ 1 đến 2019.

Số số lẻ từ 1 đến 2019 là:

\[
\frac{2019 - 1}{2} + 1 = \frac{2018}{2} + 1 = 1009 + 1 = 1010
\]

Vậy tổng trong \( A \) có 1010 số hạng.

- Tổng trong \( B \) là tổng các phân số với mẫu số chẵn từ 2 đến 2020.

Số số chẵn từ 2 đến 2020 là:

\[
\frac{2020 - 2}{2} + 1 = \frac{2018}{2} + 1 = 1009 + 1 = 1010
\]

Vậy tổng trong \( B \) cũng có 1010 số hạng.

---

**Bước 2: Viết lại tổng theo chỉ số**

- Tổng trong \( A \):

\[
S_A = \sum_{k=0}^{1009} \frac{1}{2k+1}
\]

- Tổng trong \( B \):

\[
S_B = \sum_{k=1}^{1010} \frac{1}{2k}
\]

---

**Bước 3: So sánh \( S_A \) và \( S_B \)**

Ta biết:

\[
S_A = \sum_{k=0}^{1009} \frac{1}{2k+1}
\]

\[
S_B = \sum_{k=1}^{1010} \frac{1}{2k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{1010} \frac{1}{k}
\]

---

**Bước 4: Sử dụng hàm Harmonic**

Định nghĩa số harmonic:

\[
H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
\]

Ta có:

\[
S_B = \frac{1}{2} H_{1010}
\]

Còn \( S_A \) có thể viết lại bằng cách liên hệ với \( H_n \):

\[
H_{2n} = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k}
\]

Tức là:

\[
\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1} = H_{2n} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} = H_{2n} - \frac{1}{2} H_n
\]

Áp dụng với \( n=1010 \):

\[
\sum_{k=1}^{1010} \frac{1}{2k-1} = H_{2020} - \frac{1}{2} H_{1010}
\]

Nhưng \( S_A = \sum_{k=0}^{1009} \frac{1}{2k+1} = \sum_{k=1}^{1010} \frac{1}{2k-1} \), nên:

\[
S_A = H_{2020} - \frac{1}{2} H_{1010}
\]

---

**Bước 5: Viết lại \( A \) và \( B \) theo \( H_n \)**

\[
A = \frac{1}{1011} S_A = \frac{1}{1011} \left(H_{2020} - \frac{1}{2} H_{1010}\right)
\]

\[
B = \frac{1}{1010} S_B = \frac{1}{1010} \cdot \frac{1}{2} H_{1010} = \frac{1}{2 \cdot 1010} H_{1010}
\]

---

**Bước 6: So sánh \( A \) và \( B \)**

Ta cần so sánh:

\[
A - B = \frac{1}{1011} \left(H_{2020} - \frac{1}{2} H_{1010}\right) - \frac{1}{2 \cdot 1010} H_{1010}
\]

Viết lại:

\[
A - B = \frac{H_{2020}}{1011} - \frac{1}{2} H_{1010} \left(\frac{1}{1011} + \frac{1}{1010}\right)
\]

Tính tổng trong ngoặc:

\[
\frac{1}{1011} + \frac{1}{1010} = \frac{1010 + 1011}{1010 \cdot 1011} = \frac{2021}{1010 \cdot 1011}
\]

Vậy:

\[
A - B = \frac{H_{2020}}{1011} - \frac{1}{2} H_{1010} \cdot \frac{2021}{1010 \cdot 1011}
\]

---

**Bước 7: Xấp xỉ giá trị \( H_n \)**

Hàm harmonic có xấp xỉ:

\[
H_n \approx \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12 n^2} + \cdots
\]

với \(\gamma \approx 0.5772\) là hằng số Euler-Mascheroni.

Tính gần đúng:

- \( H_{1010} \approx \ln 1010 + 0.5772 + \frac{1}{2 \cdot 1010} \)
- \( H_{2020} \approx \ln 2020 + 0.5772 + \frac{1}{2 \cdot 2020} \)

Tính logarit:

- \(\ln 1010 \approx \ln(1000) + \ln(1.01) \approx 6.9078 + 0.00995 = 6.91775\)
- \(\ln 2020 \approx \ln(2000) + \ln(1.01) \approx 7.6009 + 0.00995 = 7.61085\)

Tính \( H_{1010} \):

\[
H_{1010} \approx 6.91775 + 0.5772 + \frac{1}{2020} \approx 6.91775 + 0.5772 + 0.000495 = 7.495445
\]

Tính \( H_{2020} \):

\[
H_{2020} \approx 7.61085 + 0.5772 + \frac{1}{4040} \approx 7.61085 + 0.5772 + 0.0002475 = 8.1882975
\]

---

**Bước 8: Thay vào biểu thức \( A - B \)**

\[
A - B \approx \frac{8.1883}{1011} - \frac{1}{2} \times 7.4954 \times \frac{2021}{1010 \times 1011}
\]

Tính từng phần:

- \(\frac{8.1883}{1011} \approx 0.0081\)
- \(\frac{2021}{1010 \times 1011} \approx \frac{2021}{1,021,110} \approx 0.00198\)
- \(\frac{1}{2} \times 7.4954 \times 0.00198 = 0.5 \times 7.4954 \times 0.00198 \approx 3.7477 \times 0.00198 \approx 0.00742\)

Vậy:

\[
A - B \approx 0.0081 - 0.00742 = 0.00068 > 0
\]

---

**Kết luận:**

- \( A - B > 0 \Rightarrow A > B \)

---

### **Đáp án cuối cùng:**

\[
\boxed{A > B}
\]