Để chứng minh biểu thức $A = 8^{100} - 8^9 - 8^8$ chia hết cho $55$, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để biến đổi biểu thức về dạng một tích, trong đó có một thừa số là bội số của $55$.

Dưới đây là các bước biến đổi chi tiết:

Bước 1: Đặt nhân tử chung
Nhìn vào biểu thức, ta thấy lũy thừa có số mũ nhỏ nhất là $8^8$. Do đó, ta sẽ đưa $8^8$ ra làm thừa số chung:

$A = 8^8 \cdot (8^{92} - 8^1 - 1)$
$A = 8^8 \cdot (8^{92} - 9)$
Bước 2: Phân tích tiếp để xuất hiện số 55
Đến đây, việc tính trực tiếp $8^{92}$ là không khả thi. Tuy nhiên, ta có thể nhận xét về số $55$: $55 = 5 \times 11$.

Hoặc một cách đơn giản hơn, ta hãy nhìn vào các số mũ nhỏ hơn để tìm quy luật liên quan đến $55$. Hãy thử nhóm 3 hạng tử liên tiếp có số mũ gần nhau:

Ta có:

$8^9 - 8^8 = 8^8 \cdot (8 - 1) = 8^8 \cdot 7$
Nhưng hiệu ban đầu là $8^{100} - 8^9 - 8^8$. Cách nhóm tối ưu nhất để xuất hiện trực tiếp số $55$ (hoặc bội của nó) là nhóm các số mũ liền kề nhau. Hãy thử xét biểu thức thu nhỏ tương tự: $8^{10} - 8^9 - 8^8$.

$8^{10} - 8^9 - 8^8 = 8^8 \cdot (8^2 - 8 - 1) = 8^8 \cdot (64 - 8 - 1) = 8^8 \cdot 55$
Đến đây ta thấy một điều kỳ diệu! Cụm $8^{10} - 8^9 - 8^8$ chia hết cho $55$.

Bước 3: Áp dụng vào bài toán gốc
Biểu thức đề bài cho là $8^{100} - 8^9 - 8^8$. Ta sẽ tách $8^{100}$ để làm xuất hiện cụm $8^{10}$ ở trên:

$A = 8^{100} - 8^9 - 8^8
$A = (8^{100} - 8^{99} - 8^{98}) + (8^{99} - 8^{98} - ...) \text{... Cách này sẽ bị lẻ.}
Sửa lại cách tiếp cận từ Bước 1 một cách chính xác hơn bằng đồng dư thức (Modulus) hoặc tách trực tiếp:

Ta cần chứng minh $A = 8^{100} - 8^9 - 8^8$ chia hết cho $55$.

Ta có:

$A = 8^{100} - 8^8(8 + 1)$
$A = 8^{100} - 8^8 \cdot 9$
Vì $55 = 5 \cdot 11$ và $\text{UCLN}(5, 11) = 1$, ta chỉ cần chứng minh $A$ vừa chia hết cho $5$ vừa chia hết cho $11$.

1. Chứng minh $A \vdots 5$
Ta xét chữ số tận cùng hoặc dùng đồng dư thức với $5$:

Ta có $8 \equiv 3 \pmod 5$
$8^2 = 64 \equiv 4 \pmod 5$
$8^4 \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod 5$
Do đó:

$8^{100} = (8^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod 5$
$8^9 = 8^8 \cdot 8 = (8^4)^2 \cdot 8 \equiv 1^2 \cdot 3 \equiv 3 \pmod 5$
$8^8 = (8^4)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 5$
Thay vào biểu thức $A$:

$A = 8^{100} - 8^9 - 8^8 \equiv 1 - 3 - 1 \equiv -3 \equiv 2 \pmod 5$
(Có vẻ đề bài có một chút nhầm lẫn ở số mũ $8^{100}$, nếu đề bài là $8^{10} - 8^9 - 8^8$ thì sẽ chia hết cho 55 như đã chứng minh ở bước 2: $8^8 \cdot 55 \vdots 55$).

Lời khuyên: Bạn hãy kiểm tra lại kỹ xem đề bài chính xác là $8^{10} - 8^9 - 8^8$ hay là $8^{100} - 8^9 - 8^8$ nhé? Vì nếu là số mũ $10$, chúng ta sẽ giải ra ngay lập tức chỉ bằng 1 dòng đặt nhân tử chung: $8^8(8^2 - 8 - 1) = 8^8 \cdot 55 \vdots 55$.

Để chứng minh biểu thức A=8100−89−88�=8100−89−88 chia hết cho 5555, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để biến đổi biểu thức về dạng một tích, trong đó có một thừa số là bội số của 5555.

Dưới đây là các bước biến đổi chi tiết:

Bước 1: Đặt nhân tử chung
Nhìn vào biểu thức, ta thấy lũy thừa có số mũ nhỏ nhất là 8888. Do đó, ta sẽ đưa 8888 ra làm thừa số chung:

A=88⋅(892−81−1)�=88⋅(892−81−1)
A=88⋅(892−9)�=88⋅(892−9)
Bước 2: Phân tích tiếp để xuất hiện số 55
Đến đây, việc tính trực tiếp 892892 là không khả thi. Tuy nhiên, ta có thể nhận xét về số 5555: 55=5×1155=5×11.

Hoặc một cách đơn giản hơn, ta hãy nhìn vào các số mũ nhỏ hơn để tìm quy luật liên quan đến 5555. Hãy thử nhóm 3 hạng tử liên tiếp có số mũ gần nhau:

Ta có:

89−88=88⋅(8−1)=88⋅789−88=88⋅(8−1)=88⋅7
Nhưng hiệu ban đầu là 8100−89−888100−89−88. Cách nhóm tối ưu nhất để xuất hiện trực tiếp số 5555 (hoặc bội của nó) là nhóm các số mũ liền kề nhau. Hãy thử xét biểu thức thu nhỏ tương tự: 810−89−88810−89−88.

810−89−88=88⋅(82−8−1)=88⋅(64−8−1)=88⋅55810−89−88=88⋅(82−8−1)=88⋅(64−8−1)=88⋅55
Đến đây ta thấy một điều kỳ diệu! Cụm 810−89−88810−89−88 chia hết cho 5555.

Bước 3: Áp dụng vào bài toán gốc
Biểu thức đề bài cho là 8100−89−888100−89−88. Ta sẽ tách 81008100 để làm xuất hiện cụm 810810 ở trên:

A=8100−89−88�=8100−89−88A = (8^{100} - 8^{99} - 8^{98}) + (8^{99} - 8^{98} - ...) \text{... Cách này sẽ bị lẻ.}
Sửa lại cách tiếp cận từ Bước 1 một cách chính xác hơn bằng đồng dư thức (Modulus) hoặc tách trực tiếp:

Ta cần chứng minh A=8100−89−88�=8100−89−88 chia hết cho 5555.

Ta có:

A=8100−88(8+1)�=8100−88(8+1)
A=8100−88⋅9�=8100−88⋅9
Vì 55=5⋅1155=5⋅11 và UCLN(5,11)=1UCLN(5,11)=1, ta chỉ cần chứng minh A� vừa chia hết cho 55 vừa chia hết cho 1111.

1. Chứng minh A⋮5�⋮5
Ta xét chữ số tận cùng hoặc dùng đồng dư thức với 55:

Ta có 8≡3(mod5)8≡3(mod5)
82=64≡4(mod5)82=64≡4(mod5)
84≡42≡16≡1(mod5)84≡42≡16≡1(mod5)
Do đó:

8100=(84)25≡125≡1(mod5)8100=(84)25≡125≡1(mod5)
89=88⋅8=(84)2⋅8≡12⋅3≡3(mod5)89=88⋅8=(84)2⋅8≡12⋅3≡3(mod5)
88=(84)2≡12≡1(mod5)88=(84)2≡12≡1(mod5)
Thay vào biểu thức A�:

A=8100−89−88≡1−3−1≡−3≡2(mod5)�=8100−89−88≡1−3−1≡−3≡2(mod5)
(Có vẻ đề bài có một chút nhầm lẫn ở số mũ 81008100, nếu đề bài là 810−89−88810−89−88 thì sẽ chia hết cho 55 như đã chứng minh ở bước 2: 88⋅55⋮5588⋅55⋮55).

Lời khuyên: Bạn hãy kiểm tra lại kỹ xem đề bài chính xác là 810−89−88810−89−88 hay là 8100−89−888100−89−88 nhé? Vì nếu là số mũ 1010, chúng ta sẽ giải ra ngay lập tức chỉ bằng 1 dòng đặt nhân tử chung: 88(82−8−1)=88⋅55⋮5588(82−8−1)=88⋅55⋮55.