Để chứng minh \(\sqrt{5}\) là số vô tỷ, chúng ta sẽ dùng phương pháp phản chứng. Nghĩa là chúng ta giả sử \(\sqrt{5}\) là số hữu tỷ, sau đó tìm ra một điểm mâu thuẫn để bác bỏ giả sử đó.
Số \(\sqrt{5}\) là số vô tỷ vì nó không thể viết được dưới dạng phân số tối giản.

1. Giả sử ngược lại
Giả sử \(\sqrt{5}\) là một số hữu tỷ. Khi đó, \(\sqrt{5}\) phải viết được dưới dạng một phân số tối giản:
\(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\)
Trong đó:
\(a\) và \(b\) là các số nguyên (\(b \neq 0\)).
Phân số \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Nghĩa là \(a\) và \(b\) không cùng chia hết cho bất kỳ số nào khác ngoài \(1\) (ước chung lớn nhất của \(a\) và \(b\) bằng \(1\)).

2. Bình phương hai vế
Ta bình phương hai vế của phương trình trên:
\(5=\frac{a^{2}}{b^{2}}\)
Tiếp theo, nhân cả hai vế với \(b^{2}\):
\(a^{2}=5b^{2}\quad (1)\)

3. Phân tích tính chất của \(a\)
Từ phương trình (1), ta thấy \(a^{2}\) bằng \(5\) nhân với \(b^{2}\). Điều này có nghĩa là \(a^{2}\) chia hết cho \(5\).
Vì \(5\) là số nguyên tố, nên nếu bình phương của số \(a\) chia hết cho \(5\) thì bản thân số \(a\) cũng phải chia hết cho \(5\).
Do đó, ta có thể viết số \(a\) dưới dạng:
\(a=5k\quad (\text{vi\ }k\text{\ là\ mt\ s\ nguyên})\)

4. Phân tích tính chất của \(b\)
Thay \(a = 5k\) vào phương trình (1), ta được:
\((5k)^{2}=5b^{2}\)
\(25k^{2}=5b^{2}\)
Chia cả hai vế cho \(5\), ta có:
\(5k^{2}=b^{2}\quad \text{hay}\quad b^{2}=5k^{2}\)
Từ đây, ta lại thấy \(b^{2}\) chia hết cho \(5\). Theo lý luận tương tự như trên, bản thân số \(b\) cũng phải chia hết cho \(5\).

5. Tìm ra mâu thuẫn
Từ bước 3 và bước 4, ta thấy cả \(a\) và \(b\) đều chia hết cho \(5\).
Điều này hoàn toàn mâu thuẫn với giả sử ban đầu là phân số \(\frac{a}{b}\) đã tối giản (không cùng chia hết cho số nào ngoài \(1\)).
Vì giả sử ban đầu dẫn đến mâu thuẫn, nên giả sử đó sai.

Kết luận
Vậy, \(\sqrt{5}\) không phải là số hữu tỷ. Do đó, \(\sqrt{5}\) bắt buộc phải là số vô tỷ.

Để chứng minh
√
5
là số vô tỷ, chúng ta sẽ dùng phương pháp phản chứng. Nghĩa là chúng ta giả sử
√
5
là số hữu tỷ, sau đó tìm ra một điểm mâu thuẫn để bác bỏ giả sử đó.
Số
√
5
là số vô tỷ vì nó không thể viết được dưới dạng phân số tối giản.

1. Giả sử ngược lại
Giả sử
√
5
là một số hữu tỷ. Khi đó,
√
5
phải viết được dưới dạng một phân số tối giản:
√
5
=
a
b

Trong đó:
a
và
b
là các số nguyên (
b
≠
0
).
Phân số
a
b
là phân số tối giản. Nghĩa là
a
và
b
không cùng chia hết cho bất kỳ số nào khác ngoài
1
(ước chung lớn nhất của
a
và
b
bằng
1
).

2. Bình phương hai vế
Ta bình phương hai vế của phương trình trên:
5
=
a
2
b
2

Tiếp theo, nhân cả hai vế với
b
2
:
a
2
=
5
b
2
(
1
)
3. Phân tích tính chất của
a

Từ phương trình (1), ta thấy
a
2
bằng
5
nhân với
b
2
. Điều này có nghĩa là
a
2
chia hết cho
5
.
Vì
5
là số nguyên tố, nên nếu bình phương của số
a
chia hết cho
5
thì bản thân số
a
cũng phải chia hết cho
5
.
Do đó, ta có thể viết số
a
dưới dạng:
a
=
5
k
(
vi\
k
\ là\ mt\ s\ nguyên
)
4. Phân tích tính chất của
b

Thay
a
=
5
k
vào phương trình (1), ta được:
(
5
k
)
2
=
5
b
2

25
k
2
=
5
b
2

Chia cả hai vế cho
5
, ta có:
5
k
2
=
b
2
hay
b
2
=
5
k
2

Từ đây, ta lại thấy
b
2
chia hết cho
5
. Theo lý luận tương tự như trên, bản thân số
b
cũng phải chia hết cho
5
.

5. Tìm ra mâu thuẫn
Từ bước 3 và bước 4, ta thấy cả
a
và
b
đều chia hết cho
5
.
Điều này hoàn toàn mâu thuẫn với giả sử ban đầu là phân số
a
b
đã tối giản (không cùng chia hết cho số nào ngoài
1
).
Vì giả sử ban đầu dẫn đến mâu thuẫn, nên giả sử đó sai.

Kết luận
Vậy,
√
5
không phải là số hữu tỷ. Do đó,
√
5
bắt buộc phải là số vô tỷ.