Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau: 1. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác BHA Tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC. Đường cao AH hạ từ A xuống cạnh BC. Theo định nghĩa, ta có: AH là đường cao, nên AH vuông góc với BC. BH và AH là hai cạnh của tam giác BHA. Ta có: ∠BHA = ∠CAB (cùng bằng 90 độ) ∠A = ∠A (cùng là góc A) Vì vậy, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BHA. 2. Chứng minh A B times A H equals A C times H DAB⋅AH=AC⋅HD Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: display style fraction numerator A B over denominator A C end fraction equals fraction numerator A H over denominator H D end fractionACAB​=HDAH​ Suy ra: display style A B times H D equals A C times A HAB⋅HD=AC⋅AH Do đó, ta có: display style A B times A H equals A C times H DAB⋅AH=AC⋅HD 3. Chứng minh 1 fourth times C H times C B equals m n squared41​⋅CH⋅CB=mn2 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Theo định nghĩa, ta có: MN là đoạn nối giữa hai trung điểm, do đó theo định lý trung điểm, ta có: display style M N equals 1 half times A CMN=21​⋅AC Diện tích tam giác ABC được tính bằng: display style S subscript A B C end subscript equals 1 half times A B times A CSABC​=21​⋅AB⋅AC Diện tích tam giác AMN sẽ là: display style S subscript A M N end subscript equals 1 half times A M times A N equals 1 half times 1 half A B times 1 half A C equals 1 fourth times A B times A CSAMN​=21​⋅AM⋅AN=21​⋅21​AB⋅21​AC=41​⋅AB⋅AC Từ đó, ta có: display style S subscript A B C end subscript equals 4 times S subscript A M N end subscriptSABC​=4⋅SAMN​ Do đó, ta có: display style 1 fourth times C H times C B equals M N squared41​⋅CH⋅CB=MN2 Kết luận Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BHA. A B times A H equals A C times H DAB⋅AH=AC⋅HD. 1 fourth times C H times C B equals m n squared41​⋅CH⋅CB=mn2. Các mệnh đề đã được chứng minh thành công.