Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có:

a) Chứng minh
(ac+bd)²+(ad−bc)²=(a²+b²)(c²+d²)

Ta khai triển vế trái:

(ac+bd)²=a²c²+2abcd+b²d²

(ad−bc)²=a²d²-2abcd+b²c²

Cộng hai biểu thức:

(ac+bd)²+(ad−bc)² =a²c²+2abcd+b²d²+a²d²−2abcd+b²c²

=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²

Nhóm nhân tử chung:

=a²(c²+d²)+b²(c²+d²)= (a²+b²)(c²+d²)Vậy:

(ac+bd)²+(ad−bc)²=(a²+b²)(c²+d²) đpcm.

b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Từ câu a), ta có:

(ac+bd)²+(ad−bc)²=(a²+b²)(c²+d²)

Vì:

(ad−bc)²≥0

nên:

(ac+bd)²≤(ac+bd)²+(ad−bc)²

Suy ra:

(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)

Vậy:

(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)

đpcm.

...Xem thêm

Answer 2

Ta có:

a) Chứng minh
(ac+bd)²+(ad−bc)²=(a²+b²)(c²+d²)

Ta khai triển vế trái:

(ac+bd)²=a²c²+2abcd+b²d²

(ad−bc)²=a²d²-2abcd+b²c²

Cộng hai biểu thức:

(ac+bd)²+(ad−bc)² =a²c²+2abcd+b²d²+a²d²−2abcd+b²c²

=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²

Nhóm nhân tử chung:

=a²(c²+d²)+b²(c²+d²)= (a²+b²)(c²+d²)Vậy:

(ac+bd)²+(ad−bc)²=(a²+b²)(c²+d²) đpcm.

b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Từ câu a), ta có:

(ac+bd)²+(ad−bc)²=(a²+b²)(c²+d²)

Vì:

(ad−bc)²≥0

nên:

(ac+bd)²≤(ac+bd)²+(ad−bc)²

Suy ra:

(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)

Vậy:

(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)

đpcm.

Answer 3

Ta sẽ biến đổi vế trái (VT) để bằng vế phải (VP):
Vế trái:
\((ac + bd)^2 + (ad - bc)^2\)
\(= (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)\) (Khai triển hằng đẳng thức)
\(= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2\) (Triệt tiêu \(2abcd\) và \(-2abcd\))
\(= (a^2c^2 + a^2d^2) + (b^2c^2 + b^2d^2)\) (Nhóm các hạng tử)
\(= a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2)\) (Đặt nhân tử chung)
\(= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)
Vế phải:
\((a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)
Vì VT = VP, đẳng thức đã được chứng minh.

b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Bất đẳng thức Bunhiacôpxki phát biểu rằng: \((ac + bd)^2 \leq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)
Chứng minh:
Dựa vào kết quả đã chứng minh ở câu (a), ta có:
\((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2\)
Vì \((ad - bc)^2 \geq 0\) với mọi số thực \(a, b, c, d\), nên:
\((ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 \geq (ac + bd)^2\)
Từ đó suy ra:
\((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(ad - bc = 0 \Leftrightarrow ad = bc\) (hoặc \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) nếu các mẫu số khác 0).

...Xem thêm

Answer 4

Ta sẽ biến đổi vế trái (VT) để bằng vế phải (VP):
Vế trái:
\((ac + bd)^2 + (ad - bc)^2\)
\(= (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)\) (Khai triển hằng đẳng thức)
\(= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2\) (Triệt tiêu \(2abcd\) và \(-2abcd\))
\(= (a^2c^2 + a^2d^2) + (b^2c^2 + b^2d^2)\) (Nhóm các hạng tử)
\(= a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2)\) (Đặt nhân tử chung)
\(= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)
Vế phải:
\((a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)
Vì VT = VP, đẳng thức đã được chứng minh.

b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Bất đẳng thức Bunhiacôpxki phát biểu rằng: \((ac + bd)^2 \leq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)
Chứng minh:
Dựa vào kết quả đã chứng minh ở câu (a), ta có:
\((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2\)
Vì \((ad - bc)^2 \geq 0\) với mọi số thực \(a, b, c, d\), nên:
\((ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 \geq (ac + bd)^2\)
Từ đó suy ra:
\((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(ad - bc = 0 \Leftrightarrow ad = bc\) (hoặc \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) nếu các mẫu số khác 0).

Answer 5

ggg rấtr hay trloiw

Answer 6

mạng đâu

4 câu trả lời 136

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9