Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

GT: ΔABC nhọn.
BM⊥ACBM \perp ACBM⊥AC, CN⊥ABCN \perp ABCN⊥AB, BM∩CN=HBM \cap CN = HBM∩CN=H.
M∈AC, N∈ABM \in AC,\; N \in ABM∈AC,N∈AB.

a) C/m △AMB∼△ANC\triangle AMB \sim \triangle ANC△AMB∼△ANC
∠AMB=∠ANC=90∘\angle AMB = \angle ANC = 90^\circ∠AMB=∠ANC=90∘ ∠ABM=∠ACN (cuˋng phụ ∠A)\angle ABM = \angle ACN \;(\text{cùng phụ } \angle A)∠ABM=∠ACN(cuˋng phụ ∠A) ⇒△AMB∼△ANC (g-g)\Rightarrow \triangle AMB \sim \triangle ANC \;(\text{g-g})⇒△AMB∼△ANC(g-g)
b) C/m AB⋅MN=AM⋅BCAB \cdot MN = AM \cdot BCAB⋅MN=AM⋅BC
Từ (a):

AMAB=ANAC\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}ABAM=ACANDo MN∥BCMN \parallel BCMN∥BC:

MNBC=AMAB\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB}BCMN=ABAM ⇒AB⋅MN=AM⋅BC\Rightarrow AB \cdot MN = AM \cdot BC⇒AB⋅MN=AM⋅BC
c) Gọi I,KI,KI,K lần lượt là trung điểm của AH,BCAH, BCAH,BC. C/m IKIKIK là trung trực của MBMBMB
Trong ΔABHABHABH:

III là trung điểm AHAHAH
KKK là trung điểm BCBCBC
⇒IK∥AB\Rightarrow IK \parallel AB⇒IK∥ABMà:

BM⊥AC, AB⊥BM⇒IK⊥MBBM \perp AC,\; AB \perp BM \Rightarrow IK \perp MBBM⊥AC,AB⊥BM⇒IK⊥MBLại có KKK cách đều M,BM,BM,B.

⇒IK laˋ trung trực của MB\Rightarrow IK \text{ là trung trực của } MB⇒IK laˋ trung trực của MB
d) C/m CM⋅BH⋅BM+CH⋅CNCM \cdot BH \cdot BM + CH \cdot CNCM⋅BH⋅BM+CH⋅CN không đổi
Ta có:

BM=csin⁡A,CN=bsin⁡ABM = c \sin A,\quad CN = b \sin ABM=csinA,CN=bsinA BH=2Rcos⁡B,CH=2Rcos⁡CBH = 2R \cos B,\quad CH = 2R \cos CBH=2RcosB,CH=2RcosCThay vào:

CM⋅BH⋅BM+CH⋅CN=BC2sin⁡ACM \cdot BH \cdot BM + CH \cdot CN = BC^2 \sin ACM⋅BH⋅BM+CH⋅CN=BC2sinAVì BCBCBC cố định

⇒CM⋅BH⋅BM+CH⋅CN=ha˘ˋng soˆˊ\Rightarrow CM \cdot BH \cdot BM + CH \cdot CN = \text{hằng số}⇒CM⋅BH⋅BM+CH⋅CN=ha˘ˋng soˆˊ

...Xem thêm

Answer 2